Д.1.5 Відношення

Д.1.4 Розбиття множини на систему підмножин

У практичних застосуваннях однією з операцій над множинами є операція розбиття множини на систему підмножин. Приведемо строге визначення поняття розбиття деякої множини на систему підмножин .

Система множин є розбиттям множини , якщо вона задовольняє наступним умовам:

1. Кожне є підмножиною множини , тобто .

2. Будь-які дві множини та , та є попарно непересічними, тобто .

3. Об'єднання всіх множин

.

Наприклад, множину натуральних чисел можна розбити на дві підмножини – парних і не парних чисел. Тут k приймає значення Ці дві підмножини повністю задовольняють наведеним вище умовам.

З терміном "відношення" досить часто доводиться зустрічатися як у повсякденному житті, так і в інженерній діяльності. Зокрема, це пов'язано з визначенням зв'язків між різними явищами або об'єктами, а також установленням співвідношень між ними. Наведемо загальне визначення поняття відношення.

Відношення – це підмножина скінченого декартового степеню

,

множини , тобто множина, що складається з упорядкованих -ок .

Підмножина,

називається -місним відношенням на множині . Число називається рангом або типом відношення . Запис означає, що .

Одномісні відношення називаються властивостями. Двомісні відношення називаються бінарними, тримісні – тернарними і т.д.

Множина і порожня підмножина в називаються відповідно універсальним відношенням і нуль – відношенням рангу на множині .

Діагональ множини , тобто множина

називається відношенням рівності на множині .

Якщо та є -місними відношеннями в , то відношеннями рангу будуть також наступні підмножини в :

Відношення рангу на множині називається функціональним, якщо , з того, що та випливає .

Найбільш важливе значення для практичного застосування мають бінарні відношення.

У загальному випадку бінарне відношення на множинах та визначається як деяка підмножина впорядкованих пар декартового добутку цих множин. Як правило, використовують позначення , якщо перебуває у відношенні з і – якщо ні. Часто використовуються й інші позначення відношень: , . Аналогічним чином можна визначити бінарне відношення на множині .

Множина всіх пар називається повним ("універсальним") бінарним відношенням.

Оскільки в загальному випадку не всі можливі пари задовольняють умовам відношення , то бінарне відношення є підмножиною повного бінарного відношення, тобто .

Задати відношення – це значить указати тим чи іншим способом пари , для яких виконується відношення .

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 51; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!