По линиям связи находим проекции точек 11, 21, 31, 41, как точки лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l 11, l 21, l 31, l 41 и определяющих положение проекции линии m1 на поверхности Ф.
Находим точки 12, 22, 32, 42 пересечения проекции линии m2 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l 12, l 22, l 32, l 42.
Пересечение линии с поверхностью
Линия пересекает поверхность, если имеет с ней одну или несколько общих точек.
Для графического определения точек пересечения линии с поверхностью (рис.110) необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом:
1. заключаем линию l в некоторую вспомогательную поверхность Δ;
2. строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной поверхности Δ;
3. определяем искомую точку К пересечения линии l и m (точка может быть не единственная).
В качестве вспомогательной поверхности целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а –прямолинейными образующими – проецирующие прямые.
Рисунок 110. Линия пересекает поверхность
При оценке взаимного расположения прямой линии и поверхности в качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников используется плоскость - метод вспомогательных секущих плоскостей.
Задача: Определить точки пересечения прямой линии с поверхностью конуса вращения и определить видимость прямой по отношению к конусу.
Для выбора вспомогательной секущей плоскости требуется знание линий образующихся в конических сечениях. Если в качестве вспомогательной секущей плоскости можно выбрать горизонтально проецирующую или фронтально проецирующую плоскости, то в сечении получатся соответственно гипербола (рис.111а) или эллипс (рис.111б). Построение кривых линий значительно усложняет задачу.
а) горизонтально проецирующая плоскость
б) фронтально проецирующая плоскость
Рисунок 111. Пересечение прямой линии с конусом (вспомогательная секущая плоскость - проецирующая)
Поэтому в качестве вспомогательной секущей плоскости целесообразно выбрать такую плоскость, которая бы включала прямую l и пересекала конус по образующим (рис.112). Очевидно, что такая плоскость определяется прямой l и точкой S - вершиной конуса. Пусть основание конуса лежит в горизонтальной плоскости проекций, тогда линия пересечения вспомогательной секущей плоскости и горизонтальной плоскости проекций ВС пересекает основание конуса в точках D и F. Таким образом в сечении конуса вспомогательной секущей плоскостью получится треугольник DFS. Так как полученный треугольник и прямая l лежат в одной плоскости, точки их пересечения К и М и есть точки пересечения прямой с конусом.
а) модель
б) эпюр
Рисунок 112. Пересечение прямой линии с конусом (вспомогательная секущая плоскость-плоскость общего положения)
Принадлежность точки поверхности
Точка может принадлежать поверхности или нет.
В этой теме решаются следующие позиционные задачи:
1. Построение точки, принадлежащей поверхности.
2. Определение принадлежности точки поверхности.
Рассмотрим алгоритм решения задачи на построение точки принадлежащей поверхности, если одна из проекций точки задана (рис.113).
Дано:
1. Поверхность Ф, заданная проекциями каркаса состоящего из образующих l и направляющих n.
2. Проекция точки К1, принадлежащей поверхности Ф.
а) модель
б) эпюр
Рисунок 113. Точка на поверхности
Алгоритм решения задачи:
1. Через заданную проекцию точки К1 проводим одноименную проекцию произвольной вспомогательной линии, принадлежащей поверхности m1.
2. Находим точки 11, 21, 31, 41, пересечения проекции линии m1 с проекцией каркаса поверхности, т.е. соответственно с проекциями линий l 11, l 21, l 31, l 41.
3. По линиям связи находим проекции точек 12, 22, 32, 42 как точки, лежащие на проекциях образующих каркаса соответственно l 12, l 22, l 32, l 42 и определяющих положение проекции линии m2 на поверхности Ф.
4. По линии связи находим положение проекции точки К2, как точку, принадлежащую вспомогательной линии m2.
Взаимное расположение Плоскости и поверхности
Рассмотрим два варианта взаимного расположения плоскости и поверхности:
1. Плоскость пересекает поверхность.
2. Плоскость касательная поверхности.
Определение взаимного положения плоскости и поверхности - позиционная задача, для решения которой применяется метод вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательных секущих плоскостей используются проецирующиеся плоскости - плоскости перпендикулярные плоскостям проекций, поэтому основу метода вспомогательных секущих плоскостей составляет алгоритм решения задачи по нахождению линии пересечения поверхности проецирующей плоскостью.
Особое место занимают задачи по нахождению линии пересечения плоскости с конической поверхностью. В зависимости от положения секущей плоскости линией пересечения может быть окружность, эллипс, парабола, гипербола получивших название - линии конических сечений.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ
В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций, сложность решения позиционной задачи, по определению линии пересечения ее с поверхностью существенно меняется. Наиболее простым представляется случай, когда плоскость проецирующая.
Рассмотрим решение задачи по определению линии пересечения сферы фронтально проецирующей плоскостью α (рис.114).
а) модель
б) эпюр
Рисунок 114. Пересечение сферы фронтально проецирующей плоскостью
Окружность, по которой плоскость α пересекает сферу, проецируется на плоскости П1 и П3 в виде эллипса, а на плоскость П2 в прямую линию ограниченную очерком сферы.
Охарактеризуем выбранные для построения точки:
· 1, 8 - две вершины эллипса, определяющие положение малой оси на горизонтальной и профильной проекциях, их фронтальные проекции определяют пересечение следа плоскости α с очерком сферы. Эти точки являются соответственно высшей и низшей точками сечения.
· 2, 3 - фронтальные проекции этих точек лежит на вертикальной оси сферы, а профильные проекции будут лежать на очерке сферы и определять зону видимости при построении эллипса на П3.
· 4, 5 - две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α.
· 6, 7 - фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П1.
Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 12…82. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β - горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 22, 32 проведем след плоскости β12, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β1 и сферы будет окружность m11, а точки 21 и 31 лежат на этой окружности по линии связи (в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 11 и 81, которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П1. Построенные точки 11…81 соединим плавной кривой линией с учетом видимости.
studopediasu.com - Студопедия (2013 - 2026) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав!Последнее добавление
