Теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей. 3 страница

· 4, 5 - две вершины эллипса, определяющие положение большой оси эллипса на горизонтальной и профильной проекциях, положение их фронтальной проекции определяет перпендикуляр, опущенный из центра сферы к следу плоскости α.

· 6, 7 - фронтальные проекции этих точек лежат на горизонтальной оси сферы, т.е. принадлежат экватору сферы, их горизонтальная проекция лежит на очерке сферы и определяет зону видимости при построении эллипса на П₁.

Линия пересечения плоскости α и сферы на фронтальной плоскости проекций совпадает со следом плоскости α, на ней отмечаем точки 1₂…8₂. Для нахождения горизонтальных проекций этих точек в общем случае используется метод вспомогательных секущих плоскостей (β - горизонтальные плоскости уровня). Например, через точки 2₂, 3₂ проведем след плоскости β¹₂, на горизонтальной плоскости проекций линией пересечения плоскости β¹ и сферы будет окружность m¹₁, а точки 2₁ и 3₁ лежат на этой окружности по линии связи (в данном случае осевой линии). Таким образом находятся все точки, кроме 1₁ и 8₁, которые ввиду своего положения на очерке фронтальной проекции сферы будут принадлежать горизонтальной осевой линии на плоскости П₁. Построенные точки 1₁…8₁ соединим плавной кривой линией с учетом видимости.

43. Конические сечения. Примеры построения конических сечений.

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ, плоские кривые, которые получаются пересечением прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 1). С точки зрения аналитической геометрии коническое сечение представляет собой геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению второго порядка. За исключением вырожденных случаев, рассматриваемых в последнем разделе, коническими сечениями являются эллипсы, гиперболы или параболы.

Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.

ПОСТРОЕНИЕ КОНИЧЕСКИХ СЕЧЕНИЙ

Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости. Было установлено, что эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек постоянна; параболу – как геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки и заданной прямой; гиперболу – как геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек постоянна.

Эти определения конических сечений как плоских кривых подсказывают и способ их построения с помощью натянутой нити.

44. Цилиндрические сечения.

Цилиндрическая поверхность образуется при движении прямой (AB, рис.82), сохраняющей своё направление и пересекающейся с заданной линией (кривой) MN. Линия MN называется направляющей. Прямые, соответствующие различным положениям прямой AB при её движении (A’B’,A”B” и т.д., рис.82), называются образующими цилиндрической поверхности.

Цилиндр. Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с замкнутой направляющей и двумя параллельными плоскостями, называется цилиндром (рис.83). Части этих плоскостей (ABCDEFG и abcdefg) называются основаниями цилиндра. Расстояние между основаниями (KM, рис.83) – высота цилиндра. Цилиндр – прямой, если его образующие перпендикулярны основанию; в противном случае цилиндр – наклонный. Цилиндр называется круговым, если его основание – круг. Если цилиндр является одновременно и прямым, и круговым, то он называется круглым. Призма является частным случаем цилиндра (почему?).

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра (рис.84). Сечения, параллельные основанию - круги того же радиуса. Сечения, параллельные образующим цилиндра - пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, которые не параллельны ни основанию, ни образующим - эллипсы.

45. Пересечение поверхности вращения плоскостью общего положения.

На чертеже (рис. 17, а) представлен прямой конус вращения, пересеченный плоскостью общего положения Σ. Секущая плоскость Σ задана следами: фронтальным Σ₂ и горизонтальным Σ₁. Это один из способов задания плоскости на чертежах. Вспомним, что следом плоскости называется прямая линия, которая получается при пересечении заданной плоскости с какой-либо плоскостью проекций. И так как на чертеже оба следа располагаются под некоторым углом к оси проекций OX, то плоскость Σ является плоскостью общего положения.

Рис. 17.

А поэтому кривая пересечения спроецируется на обе плоскости проекций: фронтальную и горизонтальную — в искаженном виде.

Анализ взаимного расположения заданных фигур и их расположения относительно плоскостей проекций позволяет установить на чертеже положения проекций самых низших точек кривой пересечения (рис. 17, б). Обратите внимание, что фронтальная проекция основания конуса располагается на оси ОХ. Это значит, что основание конуса — окружность — не только лежит в горизонтальной плоскости проекций, но и пересекается со следом Σ₁ секущей плоскости Σ в точках A ₁ и B ₁. Фронтальные проекции A ₂ и B ₂ точек располагаются на оси проекций OX. Поэтому можно сделать вывод, что точки A (A 1; A ₂) и B (B ₁; B ₂) являются самыми низшими точками кривой пересечения.

Рассматривая расположение горизонтальных проекций точек A и B, устанавливаем, что точка B является, кроме того самой близкой к наблюдателю точкой, располагающейся на видимой части поверхности конуса. Поэтому ее фронтальная проекция будет видимой, а проекция A ₂ точки A — невидимой. Таким образом, одна и та же точка кривой пересечения в некоторых случаях может быть и самой низшей и самой близкой.

Естественно предположить, что если кривая пересечения имеет самые низшие точки, то должна быть и самая высшая точка.

Секущая плоскость Σ наклонена к горизонтальной плоскости проекций и по отношению к наблюдателю является восходящей. Поэтому самая высшая точка кривой пересечения фигур, как точка принадлежащая секущей плоскости, должна находиться, с одной стороны, на линии наибольшего наклона плоскости Σ к горизонтальной плоскости проекций, а эта линия заданной секущей плоскости Σ располагается перпендикулярно горизонтальному следу Σ₁ этой плоскости. С другой стороны, самая высшая точка кривой пересечения принадлежит и конической поверхности, и поэтому должна располагаться на одном из ее меридианов (меридиан — это линия пересечения поверхности вращения с плоскостью, проходящей через ее ось).

При заданном на чертеже расположении оси вращения конуса эта плоскость является горизонтально-проецирующей. Значит след меридианальной плоскости, в которой находится самая высшая точка кривой пересечения фигур, должен располагаться на чертеже перпендикулярно горизонтальному следу Σ₁ секущей плоскости Σ.

Эти рассуждения о расположении на чертеже самой высшей точки кривой пересечения выявили необходимость проведения вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскости θ, проходящей через вращения конуса и расположенной перпендикулярно горизонтальному следу Σ₁ секущей плоскости Σ.

На чертеже (рис. 17, б) проведение этой плоскости обозначено ее горизонтальным следом θ₁. Теперь строят проекции линий пересечения вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскости θ с плоскостью Σ и прямым конусом вращения. В пересечении плоскостей θ и Σ образуется прямая 12 с проекциями: горизонтальной 1₁2₁ и фронтальной 1₂2₂. Она представляет собой прямую наибольшего наклона плоскости Σ к горизонтальной плоскости проекций. На ней должна находиться самая высшая точка кривой пересечения плоскости Σ с конической поверхностью.

С другой стороны, горизонтально-проецирующая плоскость θ проходит через ось вращения конуса. В сечении образуется меридиан поверхности, представляющий собой треугольник 3 S 4 с проекциями: горизонтальной 3₁ S ₁4₁ и фронтальной 3₂ S ₂4₂. На этом меридиане и должна лежать самая высшая точка кривой пересечения, фронтальная проекция C ₂ которой определяется пересечением прямых 1₂2₂ и S ₂4₂. Эти прямые лежат в проецирующей плоскости θ, но прямая 12 принадлежит секущей плоскости Σ, а прямая S 4 является общей для конуса и плоскости Σ, и поэтому точка С является искомой точкой кривой пересечения.

Так как не все точки конической поверхности являются видимыми на фронтальной проекций, возникает необходимость определения положения на чертеже проекций точек видимости кривой пересечения (рис. 17, в).

Рис. 17.

Известно, что главная меридианальная плоскость делит коническую поверхность на две части: видимую на фронтальной плоскости проекций и невидимую. И так как на чертеже положения некоторых опорных точек кривой пересечения определены, то очевидно, что у кривой пересечения имеется только одна точка видимости и ее горизонтальная проекция должна на горизонтальном следе главной меридианальной плоскости. Для определения конкретного положения на чертеже проекций точки видимости кривой пересечения воспользуемся вспомогательной секущей плоскостью, которая является как бы продолжением главной меридианальной плоскости конуса. На чертеже эта плоскость обозначена своим горизонтальным следомλ₁. В пересечении вспомогательной секущей плоскости λ с плоскостью Σ образуется фронтальная прямая m (m ₁; m ₂). Линия пересечения плоскости λ с конусом есть его главный меридиан, фронтальной проекцией которого является треугольник, с одной из сторон которого в точке D ₂ пересекается прямая m ₂. Горизонтальная проекция D ₁ располагается на следе λ₁.

Точка D (D ₁; D ₂) принадлежит секущей плоскости Σ и прямому конусу. И так как проекции точки D располагаются на соответствующих проекциях главного меридиана конуса, то она является точкой видимости кривой пересечения.

Мы определили положение проекций опорных точек кривой пересечения.

Для определения положений на чертеже проекций регулярных точек кривой пересечения используют способ вспомогательных секущих плоскостей. Для этого заданную плоскость Σ и конус пересекают вспомогательной горизонтальной секущей плоскостью T, которая задана на чертеже (рис. 17, г) своим фронтальным следом T ₂, расположенным параллельно оси ОХ. В сечении конуса плоскостью Т образуется окружность, представляющая собой параллель конической поверхности. При пересечении плоскостей T и Σ образуется прямая частного положения, а именно горизонтальная прямая. Горизонтальная проекция такой прямой плоскости Σ должна располагаться параллельно ее горизонтальному следу Σ₁. На фронтальной плоскости проекций между точкой C ₂ — самой высшей и точками A ₂, B ₂ — самыми низшими проекциями точек кривой пересечения проводят след T ₂¹ вспомогательной плоскости Т. Строят горизонтальные проекции линий пересечения фигур плоскостью Т: окружность — горизонтальную проекцию параллели конуса и прямую n ₁ — проекцию горизонтальной прямой n плоскости. Рассматривают их взаимное расположение и находят горизонтальные проекции E ₁ и F ₁ точек пересечения окружности и прямой n ₁. Фронтальные проекции E ₂ и F ₂ находят на следе T ₂¹ секущей плоскости Т. Так как проекции точек E (E ₁; E ₂) и F (F ₁; F ₂) располагаются на соответствующих проекциях прямой n (n ₁; n ₂), принадлежащей плоскости Σ, и проекциях параллели конуса, то точки E и F принадлежат одновременно плоскости Σ и поверхности конуса. Это значит, что точки E и F принадлежат кривой пересечения конуса с плоскостью Σ.

Аналогично (рис. 17, д) определяют положение на чертеже еще двух регулярных точек M (M ₁; M ₂) и N (N ₁; N ₂) кривой пересечения с помощью той же секущей плоскости Т, но теперь уже проведенной несколько ниже фронтальных проекций F ₂ и E ₂.

Рис. 17.

Способом вспомогательных секущих плоскостей можно определить положения на чертеже некоторого количества регулярных точек кривой пересечения. Соединив затем плавной кривой одноименные проекции точек с учетом их видимости, на чертеже получают (рис. 17, е) фронтальную и горизонтальную проекции кривой пересечения конуса с плоскостью Σ.

46. Пересечение прямой с поверхностью вращения.

Линия пересекает поверхность, если имеет с ней одну или несколько общих точек.
Для графического определения точек пересечения линии с поверхностью (рис.110) необходимо выполнить ряд геометрических построений, описываемых следующим алгоритмом:
1. заключаем линию l в некоторую вспомогательную поверхность Δ;
2. строим линию m пересечения данной поверхности Ф и вспомогательной поверхности Δ;
3. определяем искомую точку К пересечения линии l и m (точка может быть не единственная).
В качестве вспомогательной поверхности целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а –прямолинейными образующими – проецирующие прямые.

47. Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. План решения задачи.

Линия пересечения двух поверхностей состоит из точек,принадлежащих одновременно каждой из них, в общем случае она представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две и более частей. Эти части могут быть, в
частности, и плоскими кривыми (в случае пересечения многогранных поверхностей линия их пересечения является ломаной линией). Способ вспомогательных секущих плоскостей следует
применять тогда, когда обе поверхности возможно пересечь по графически простым линиям – окружностям или прямым. В качестве плоскостей посредников можно выбирать проецирующие плоскости, плоскости уровня, плоскости общего положения. АЛГОРИТМ решения задач на построение произвольной точки принадлежащей линии пересечения поверхностей способом секущих плоскостей (рис. 1):

1. ВВЕСТИ вспомогательную секущую плоскость (α);2. ОПРЕДЕЛИТЬ линии пересечения вспомогательной
плоскости с каждой из заданных поверхностей (m, n); 3. ОТМЕТИТЬ точки пересечения полученных линий
пересечения (m∩n=1, 1').В общем случае при пересечении поверхностей второго порядка (поверхностей вращения) получается пространственная линия 4-го порядка, в частном случае – плоская.

48. Соосные поверхности. Пересечение соосных поверхностей.

Соосными называют поверхности вращения, оси которых совпадают Линия пересечения таких поверхностей строится на основании теоремы о пересечении соосных поверхностей вращения: соосные поверхности вращения пересекаются между собой по окружностям.

Рис. 9.10. На рис. 9.10 приведены примеры пересечения сферы с конической, цилиндрической и торовой поверхностями. Рассматриваемые поверхности соосны с поверхностью сферы, так как центр сферы лежит на их осях вращения. Следовательно, поверхности со сферой пересекаются по окружностям.
Необходимо отметить, если оси пересекающихся соосных поверхностей параллельны плоскости проекций, то окружности пересечения (а) проецируются на эту плоскость в отрезки прямых 1 ₂ 2 ₂. Эти отрезки равны диаметру окружности пересечения, а их конечные точки (1 ₂) определяются пересечением очерковых линий на этом виде.

49. Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных концентрических сфер. План решения задачи.

Построение линии пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер.При построении линии пересечения поверхностей особенности пересечения соосных поверхностей вращения позволяют в качестве вспомогательных поверхностей-посредников использовать сферы, соосные с данными поверхностями.К соосным поверхностям вращения относятся поверхности, имеющие общую ось вращения. На рис. 134 изображены соосные цилиндр и сфера (рис. 134, а), соосные конус и сфера (рис. 134, б) и соосные цилиндр и конус (рис. 134, в).Соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения. Этих общих для обеих поверхностей окружностей столько, сколько существует точек пересечения очерковых линий поверхностей. Поверхности на рис. 134 пересекаются по окружностям, создаваемым точками 1 и 2 пересечения их главных меридианов.Вспомогательная сфера-посредник пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности, в пересечении которых получаются точки, принадлежащие и другой поверхности, а значит, и линии пересечения.

Рис. 134

Если оси поверхностей пересекаются, то вспомогательные сферы проводят из одного центра-точки пересечения осей. Линию пересечения поверхностей в этом случае строят способом вспомогательных концентрических сфер. При построении линии пересечения поверхностей для использования способа вспомогательных концентрических сфер необходимо выполнение следующих условий:

1. пересечение поверхностей вращения;

2. оси поверхностей – пересекающиеся прямые – параллельны одной из плоскостей проекций, т. е. имеется общая плоскость симметрии;

3. нельзя использовать способ вспомогательных секущих плоскостей, так как они не дают графически простых линий на поверхностях.

Обычно способ вспомогательных сфер используется в сочетании со способом вспомогательных секущих плоскостей. На рис. 135 построена линия пересечения двух конических поверхностей вращения с пересекающимися во фронтальной плоскости уровня Ф (Ф₁) осями вращения. Значит, главные меридианы этих поверхностей пересекаются и дают в своем пересечении точки видимости линии пересечения относительно плоскости П₂ или самую высокую А и самую низкую В точки. В пересечении горизонтального меридиана h и параллели h', лежащих в одной вспомогательной секущей плоскости Г(Г₂), определены точки видимости С и D линии пересечения относительно плоскости П₁. Использовать вспомогательные секущие плоскости для построения дополнительных точек линии пересечения нецелесообразно, так как плоскости, параллельные Ф, будут пересекать обе поверхности по гиперболам, а плоскости, параллельные Г, будут давать в пересечении поверхностей окружности и гиперболы.

50.Частные случаи пересечения поверхностей. Теорема о двойном касании. Теорема Монжа.

Если две поверхности 2-го порядка пересекаются по одной кривой второго порядка, то они пересекаются по второй кривой второго порядка (рис. 11).

Две поверхности (прямой круговой конус и наклонный цилиндр) пересекаются по окружности, которая является общим основанием. Для нахождения второй линии пересечения определяем точки 1 и 2, в которых пересекаются очерковые образующие поверхностей цилиндра и конуса. По этим точкам строим линию, которая будет являться эллипсом.

ТЕОРЕМА 2 (о двойном касании). Если две поверхности 2-го порядка имеют касание в двух точках, то линия их пересечения распадается на две кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линийкасания (рис. 12).

Точками касания поверхностей называются точки, через которые проходят плоскости, касательные одновременно к двум поверхностям. На рис. 12 показано построение линии пересечения эллиптического цилиндра с прямым круговым конусом.На основании теоремы о двойном касании для нахождения линии пересечения поверхностей второго порядка, имеющих две точки касания А и В, достаточно определить опорные точки 1, 2, 3, 4 на пересечении очерков этих поверхностей (относительно плоскости П2). Горизонтальная проекция линии пересечения будет совпадать с горизонтальной проекцией эллиптического цилиндра.

ТЕОРЕМА 3 («Теорема МОНЖА»). Если две поверхности второго порядка описаны около 3-ей поверхности 2-го порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на 2 кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через

прямую, соединяющую точки пересечения линий касания. Эта теорема по существу является частным случаем теоремы2 (рис. 13).