Теорема 2.6. Признак параллельности плоскостей. 1 страница

Способы задания плоскости на чертеже.

Положение плоскости в пространстве определяется (рис.3.1): тремя точками, не лежащими на одной прямой (1), прямой и точкой, взятой вне прямой (2), двумя пересекающимися прямыми (3), двумя параллельными прямыми (4), геометрической фигурой (5), следами плоскости (6).

15. Положение плоскости относительно плоскостей проекций.

В зависимости от положения плоскости по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.

1. Плоскость не перпендикулярная ни одной плоскости проекций называется плоскостью общего положения. Такая плоскость пересекает все плоскости проекций (имеет три следа: - горизонтальный _П1; - фронтальный _П2;- профильный _П3).

2. Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются проецирующими. В зависимости от того, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, различают:

2.1. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций ( П_), называется горизонтально проецирующей плоскостью. Горизонтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию, которая одновременно является её горизонтальным следом. Горизонтальные проекции всех точек этой плоскости совпадают с горизонтальным следом (рис.46).

2.2. Плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (П ₂)- фронтально проецирующая плоскость. Фронтальной проекцией плоскости  является прямая линия, совпадающая со следом _П2 (рис.47).

2.3. Плоскость, перпендикулярная профильной плоскости (П ₃) - профильно проецирующая плоскость. Частным случаем такой плоскости является биссекторная плоскость (рис.48).

3. Плоскости, параллельные плоскостям проекций – занимают частное положение в пространстве и называются плоскостями уровня. В зависимости от того, какой плоскости параллельна исследуемая плоскость, различают:

3.1. Горизонтальная плоскость - плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций (П ₁) - (П₂,П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₁ без искажения, а на плоскости П₂ и П₃ в прямые - следы плоскости _П2 и _П3 (рис.49).

3.2. Фронтальная плоскость - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций (П₂), (П₁,П₃). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П ₂ без искажения, а на плоскости П ₁ и П ₃ в прямые - следы плоскости _П1 и _П3 (рис.50).

3.3. Профильная плоскость - плоскость, параллельная профильной плоскости проекций (//П₃), (П₁,П₂). Геометрический объект, принадлежащий этой плоскости проецируется на плоскость П₃ без искажения, а на плоскости П₁ и П₂ в прямые - следы плоскости _П1 и _П2 (рис.51)

16. Проецирующие плоскости и их свойства.

Плоскость частного положения - плоскость проходящая через проецирующие прямые, т.е. перпендикулярная к одной или одновременно к двум основным плоскостям проекций. Если плоскость перпендикулярна только к одной плоскости проекций, то она называется проецирующей плоскостью. Существует три вида проецирующих плоскостей:

Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то она называется плоскостью уровня. Следовательно, плоскость уровня всегда параллельна одной из плоскостей проекций. Существует три вида плоскостей уровня:

17. Плоскости уровня и их свойства

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.
Горизонтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная П₁ (рис. 2.3.7).
Рис 2.3.7

Горизонтальная плоскость уровня Г перпендикулярна плоскостям П₂ и П₃ т. е. является фронтально и профильно проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая геометрическая фигура Ф, принадлежащая плоскости Г
(рис. 2.3.7), проецируется на горизонтальную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф₁, например:

ABC A₁B₁C₁ ABC

Фронтальная плоскость уровня - плоскость, параллельная П₂ (рис. 2.3.8).
Рис 2.3.8

Фронтальная плоскость уровня перпендикулярна плоскостям
П₁ и П₃ т. е. является горизонтально и профильно проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая геометрическая фигура Ф, принадлежащая плоскости , проецируется на фронтальную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф₂, например;

ABC A₂B₂C₂ ABC

Профильная плоскость уровня - плоскость, параллельная П₃ (рис. 2.3.9).

Рис 2.3.9

Профильная плоскость уровня перпендикулярна плоскостям
П₂, и П₁, т. е. является горизонтально и фронтально проецирующей одновременно и обладает, следовательно, свойствами каждой из них. Любая фигура Ф, принадлежащая плоскости , проецируется на профильную плоскость проекций в конгруэнтную ей фигуру Ф₃, например:

ABC A₃B₃C₃ ABC

Свойства:

На плоскость проекций, которой данная плоскость параллельна, любые геометрические образы ей принадлежащие, проецируются в натуральную величину. Две другие проекции такой плоскости есть прямые, параллельные соответствующим осям проекций.

18. Следы плоскости.

Следом плоскости называется линия пересечения плоскости с плоскостью проекций. В зависимости, от того с какой из плоскостей проекций пересекается данная плоскость, различают: горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Каждый след плоскости является прямой линией, для построения которых необходимо знать две точки, либо одну точку и направление прямой (как для построения любой прямой). На рисунке 52 показано нахождение следов плоскости α(АВС). Фронтальный след плоскости α_П2 построен, как прямая соединяющая две точки N_(АС) и N_(АВ), являющиеся фронтальными следами соответствующих прямых, принадлежащих плоскости α. Горизонтальный следα_П1 – прямая, проходящая через горизонтальные следы прямых ВС и АВ. Профильный след α_П3 – прямая соединяющая точки (α_y и α_z) пересечения горизонтального и фронтального следов с осями. Точки α_x, α_y и α_z называют точками схода следов.

а) модель	б) эпюр
Рисунок 52. Построение следов плоскости     19. Принадлежность прямой и точки плоскости. Признаки принадлежности точки и прямой плоскости Для определения принадлежности точки и прямой плоскости, расположенной в пространстве, следует руководствоваться следующими положениями: точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести линию, лежащую в плоскости; прямая принадлежит плоскости, если она имеет с плоскостью хотя бы две общие точки; прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку данной плоскости параллельно прямой, принадлежащей этой плоскости. Через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество линий. Это могут быть произвольные линии и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций П1 П2, П3. Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно горизонтальной плоскости проекций, называется горизонталью плоскости. Прямая, принадлежащая рассматриваемой плоскости, проведенная параллельно фронтальной плоскости проекций, называется фронталью плоскости. Горизонталь и фронталь являются линиями уровня. Горизонталь плоскости следует начинать строить с фронтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости. А так как все горизонтали плоскости параллельны между собой, можно считать горизонтальный след плоскости нулевой горизонталью (рис. 5.8). Фронталь плоскости следует начинать строить с горизонтальной проекции, т.к. она параллельна оси x, фронтальная проекция фронтали параллельна фронтальному следу. Фронтальный след плоскости -нулевая фронталь. Все фронтали плоскости параллельны между-собой (рис. 5.9). К линии уровня относится и профильная прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П3. К главным линиям особого положения в плоскости, кроме линии уровня, относятся линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций. Определение угла наклона плоскости к плоскостям проекций Плоскость общего положения, расположенная в пространств произвольно, наклонена к плоскостям проекций. Для определения в личины двухгранного угла наклона заданной плоскости к какой-либо плоскости проекции используются линии наибольшего наклона плод кости к плоскости проекций: к П1 - линия ската, к П2 - линия наибольшего наклона плоскости к плоскости П2. Линии наибольшего наклона плоскости - это прямые, образующие с плоскостью проекций наибольший угол, проводятся в плоскости перпендикулярно к соответствующей линии уровня. Линии наибольшего наклона и ее соответствующая проекция образуют линейны угол, которым измеряется величина двухгранного угла, составленное! данной плоскостью и плоскостью проекций (рис. 5.10). В техническом рисовании аксонометрические изображения начинают с нанесения аксонометрических осей, выполняя все операции от руки на глаз, без применения чертежных инструментов. Аксонометрические рисунки правильных треугольников и шестиугольников показаны на рис.. Длины соответствующих отрезков с ортогонального изображения многоугольника переносятся на аксонометрические оси.

20. Главные линии плоскости.

1. Горизонталь – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П₁.

h₀ – нулевая горизонталь

h₁₀║h₁
h₀║h
h₂₀║h₂

Все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны нулевой горизонтали (т.е. горизонтальному следу).

2. Фронталь – прямая, лежащая в заданной плоскости и параллельная П₂.

Все фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны нулевой фронтали (т.е. фронтальному следу).

3. Линия ската - линия наибольшего наклона заданной плоскости к плоскости проекции П₁.
Линия наибольшего наклона определяет угол наклона заданной плоскости к плоскости проекции П₂ (расположена перпендикулярно всем фронталям).
Линия ската определяет угол наклона заданной плоскости к плоскости проекции П₁(расположена перпендикулярно всем горизонталям).

21. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскости проекций.

Линией наибольшего наклона (ската) плоскости γ называется прямая g, принадлежащая этой плоскости и перпендикулярная ее линиям уровня: горизонтали h и фронтали f (рис. 4.7).

На комплексном чертеже горизонтальная проекция линии наибольшего наклона перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости, а фронтальная - фронтальной проекции фронтали.

Главным свойством этой линии наибольшего ската является то, что она образует с горизонтальной плоскостью проекций π₁ угол α°, равный углу наклона плоскости γ к плоскости π_1.

Рис. 4.7. Пример построения линии наибольшего наклона

Это свойство линии наибольшего наклона (ската) используется для определения углов наклона плоскостей к плоскостям проекций.

22. Пересечение прямой с плоскостью. Общий алгоритм решения задачи.

Пересечение прямой и плоскости

Для рассмотрения пересечения прямой и плоскости целесообразно начать с рассмотрения случая пересечения двух плоскостей (рис. 3.9), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (α | | π₁, f⁰_α | | Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости α, будет также параллельна плоскости π₁, (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ≡ h).

а б в

Рис. 3.8. Прямые, параллельные плоскостям, заданным:
а - плоскостью треугольника АВС;
б - двумя пересекающимися прямыми а ∩ b;
в - горизонтальным h⁰_α и фронтальным f⁰_α следами

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости π₂ и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ≡ f).

Пример построения точки пересечения (К) прямой а (АВ) с плоскостью α (DEF) показан на рис. 3.10. Для этого прямая а заключена в произвольную плоскость β и определена линия пересечения плоскостей α и β.

В рассматриваемом примере прямые АВ и MN принадлежат одной плоскости β и пересекаются в точке К, а так как прямая MN принадлежит заданной плоскости α (DEF), то точка К является и точкой пересечения прямой а (АВ) с плоскостью α. (рис. 3. 11).

Для решения подобной задачи на комплексном чертеже необходимо уметь находить точку пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения.

а б

Рис. 3.9. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а - горизонтального уровня; б - фронтального уровня

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на комплексном чертеже (рис. 3.11).

Для нахождения указанной точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А₂В₂ проведена фронтально проецирующая плоскость β которая пересекла треугольник по прямой MN. На фронтальной плоскости проекций (π₂) эта прямая представлена проекциями двух точек M₂, N₂. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (π₁) находятся горизонтальные проекции полученных точек M₁ N₁. В пересечении горизонтальных проекций прямых А₁В₁ и M₁N₁ образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К₁). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К₂).

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости π₂ рассмотрены две точки N ∈ EF и 1∈ AB. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (Y_N>Y₁), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К₁) закрыта плоскостью DEF на плоскости π₂ (ее проекция К₂1₂ показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости π₁. Определение видимости прямой в горизонтальной плоскости проекций можно при выполнении аналогичных операций.

23. Общий случай пересечения плоскостей.

Построение линии пересечения поверхностей в общем случае сводится к нахождению общих точек, принадлежащих данным поверхностям.

Линия пересечения поверхностей представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части (и более). Эти части могут быть и плоскими кривыми. В случае пересечения многогранников линия пересечения представляет собой ломаную.

Для определения точек, общих для двух поверхностей, применяют способ поверхностей-посредников. Используя посредников, находят линии его пересечения с заданными поверхностями. В пересечении этих линий определяют точки, принадлежащие искомой линии пересечения. В качестве посредников выбирают плоскости или поверхности (например, сферы). Поэтому способы построения линии пересечения поверхностей называют: вспомогательных секущих плоскостей и сфер. Посредник необходимо выбирать таким, чтобы линия его пересечения с каждой поверхностью была простой – прямой или окружностью.

24. Параллельность прямой и плоскости.   Теорема Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Доказательство Пусть α - плоскость, a – не лежащая в ней прямая и a1 – прямая в плоскости α, параллельная прямой a. Проведем плоскость α1 через прямые a и a1. Плоскости α и α1 пересекаются по прямой a1. Если бы прямая a пересекала плоскость α, то точка пересечения принадлежала бы прямой a1. Но это невозможно, так как прямые a и a1 параллельны. Следовательно, прямая a не пересекает плоскостью α, а значит, параллельна плоскости α. Теорема доказана.

25. Параллельность двух плоскостей.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если плоскость α параллельна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в другой плоскости β, то эти плоскости параллельны.

Доказательство

Чертеж 2.3.1.

Доказательство проведем от противного. Пусть прямые a и b лежат в плоскости β, причем a || α и b || α (чертеж 2.3.1). Если плоскости α и β не параллельны, то они пересекаются по некоторой прямой c. Поскольку a || α, то по теореме о следе c || a. Аналогично получаем, что c || b, тогда a || b. Мы пришли к противоречию, поскольку a и b по условию пересекаются.

26. Теорема о частном случае проецирования прямого угла.

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то при ортогональном проецировании прямой угол проецируется на эту плоскость в прямой же угол.

Рис. 58

Рис. 59

Пусть дан прямой угол ABC, у которого сторона АВ параллельна плоскости п' (рис. 59). Проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости п'. Значит, АВ _|_S, так как АВ _|_ ВС и АВ _|_ ВВ, отсюда АВ _|_ В'С'. Но так какАВ || А'В' _|_ В'С', т. е. на плоскости п' угол между А'В' и В'С равен 90°.

Обратимость чертежа.

Проецирование на одну плоскость проекций дает изображение, которое не позволяет однозначно определить форму и размеры изображенного предмета. Проекция А (см. рис. 53) не определяет положение самой точки в пространстве, так как не известно, на какое расстояние она удалена от плоскости проекций п'. Любая точка проецирующего луча, проходящего через точку А, будет иметь своей проекцией точку А'. Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, так как по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. Для исключения неопределенности изображение дополняют необходимыми данными. В практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. В данном курсе будут рассмотрены чертежи, получаемые ортогональным проецированием на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексные чертежи) и путем перепроецирования вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций (аксонометрические чертежи).

27. Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

28.Перпендикулярность двух плоскостей.

Построение двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Как известно, плоскости перпендикулярны, если прямая, принадлежащая одной плоскости, перпендикулярна другой плоскости. Поэтому плоскость, перпендикулярную к заданной, можно провести через прямую, перпендикулярную к заданной плоскости, или перпендикулярно прямой, лежащей в заданной плоскости.

Изображенные на рис. 4.12 плоскости (плоскость треугольника АВС и плоскость Р) взаимно перпендикулярны, так как плоскость Р перпендикулярна к прямой А1, лежащей в плоскости треугольника. Проекции плоскости P, проходящей через прямую с проекциями m₂n₂, m₁n₁ и перпендикулярной плоскости, заданной проекциями a₂b₂c₂, a₁b₁c₁ треугольника, показано на рис. 4.12.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 137; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!