Вектор электрического смещения. Теорема Остроградского-Гауса.

Имеем границу раздела двух сред с E1 и E2, так что, ; или , т.е., напряженность электростатического поля E изменяется скачком при переходе из одной среды в другую. Для упрощения расчетов была введена новая векторная величина – вектор электрического смещения: Из предыдущих рассуждений , тогда , отсюда Т. образом, вектор D остается неизменным при переходе это облегчает расчет D. Зная D и ε, легко рассчитывать , отсюда: где – вектор поляризации, χ – диэлектрическая восприимчивость среды, характ поляризацию единичного объема среды. Таким образом, вектор D – есть сумма двух векторов различной природы: E – главной характеристики поля и P – поляризации среды. В СГС: поэтому в вакууме D=E и размерность у D и E одинакова. В СИ: , т. е. это заряд, протекающий через единицу поверхности. Для точечного заряда в вакууме . Для D имеет место принцип суперпозиции, как и для E, т.е. . Для данной конфигурации поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен: Т.е. в однородном поле В произвольном электрическом поле . Здесь , т.е. ориентация dS в пространстве задается с помощью единичного вектора n. Таким образом, направление вектора dS совпадает с направлением n внешней нормали к поверхности. Подсчитаем поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q. Окружим заряд q сферой S₁. Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S₁ равен R₁. В каждой точке поверхности S₁ проекция E на направление внешней нормали одинакова и равна: . Тогда поток через S₁ . Подсчитаем поток через сферу S₂, имеющую радиус R₂: . Из непрерывности линии E следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: . Линии напряженности E начинаются и заканчиваются на зарядах. Полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: . Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε₀.

2. При вычислении потока через замкнутую поверхность, вектор нормали n следует считать направленным наружу. Линии E, выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создают положительный поток, линии же, входящие в объем – отрицательный поток. Если между нашими сферами расположить ещё одну поверхность S₃, не охватывающую заряд, каждая линия напряженности E будет дважды пересекать эту поверхность: один раз с положительной стороны – войдет в поверхность S₃, другой раз – с отрицательной стороны – выйдет из поверхности S₃. В результате алгебраическая сумма линий напряженности, проходящая через замкнутую поверхность S₃ будет равна нулю, т.е. полный поток, проходящий через S₃, равен нулю. Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен: – если заряд расположен внутри замкнутой поверхности; – если заряд расположен вне замкнутой поверхности; этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.

В общем случае электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства. Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементарных зарядов электрона e или протона p. Суммарный заряд объема dV будет равен: . Тогда из теоремы Гаусса можно получить: – это ещё одна форма записи теоремы Остроградского–Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему. Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство: в то время как само поле E зависит от конфигурации всех зарядов, поток Ф сквозь произвольную замкнутую поверхность определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S. Это значит, что если передвинуть заряды, то E изменится всюду, и на поверхности S, а поток вектора E через эту поверхность останется прежним.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 63; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!