Линейная зависимость и независимость векторов, заданных своими координатами

Замечание 2

Теорема 8

Определение 30

Замечание 1

Определение 29

Определение 28

Базис и координаты вектора, единственность разложения вектора по базису

Базис и система координат

Базисом на плоскости называется пара линейно независимых векторов плоскости при условии, что любой вектор плоскости разлагается в линейную комбинацию этих векторов.

Утверждение 4

Любая пара неколлинеарных векторов плоскости может быть базисом этой плоскости.

Базисом в пространстве называется тройка линейно независимых векторов пространства при условии, что любой вектор пространства разлагается в линейную комбинацию этих векторов.

Утверждение 5

Любая тройка некомпланарных векторов пространства может быть базисом этого пространства.

Далее все рассуждения для пространства справедливы также и для плоскости.

- векторы базиса (соответственно первый, второй, третий). Разложение вектора по базису:

(14)

- координаты вектора в базисе

(15)

Координаты вектора – коэффициенты разложения данного вектора по базису.

Любой вектор разлагается по базису единственным образом.

♦ От противного:

Допустим и . Тогда

Из условия существования противоположного вектора, коммутативности сложения, дистрибутивности относительно сложения чисел получаем:

Система векторов - базис, поэтому линейно независима. Коэффициенты линейной комбинации могут быть только нулями. Поэтому . Следовательно, разложение единственно. ♦

Теорема 9 (свойства операций над векторами, заданными своими координатами)

1) Соответствующие координаты равных векторов равны.

(16)

2) При сложении двух векторов соответствующие координаты складываются.

(17)

3) При умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число.

, (18)