Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения (см.рис.9). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt проис­ходит элементарный поворот тела на угол , то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение . Тогда числовое значение скорости точки будет равно отно­шению ds к dt, т.е

или .

Скорость в отличие от угловой скорости тела называют иногда еще линейной или окружной скоростью точки М.

Таким образом, числовое значение скорости тонки вращающегося. твердого тела равно произведению угловой скорости тела на. расстоя­ние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

Так как для всех точек тела имеет в данный момент времени одно и то же значение, то скорости точек вращающегося тела пропорциональны их расстояниям от оси вращения.

Рис.11

Рис. 12

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами , .

В нашем случае =h. Подставляя значение v в выражения и а_n, получим:

или окончательно: , .

Касательная составляющая ускорения направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис. 12). Полное ускорение точки М будет или .

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом , который вычисляется по формуле . Подставляя сюда зна­чения и , получаем

Так как w и имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

Рис.13 Рис.14

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и а, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор r точки М (рис. 14). Тогда h=r sin а и по формуле

или .

Таким образом, модуль векторного произведения равен модулю скорости точки М.

Направления векторов и v тоже совпадают (оба они перпендикулярны плоскости ОМВ)

и размерно­сти их одинаковы. Следовательно,

- формула Эйлера,

т.е. вектор скорости любой точки вращающегося тела равен векторному произведению угловой скорости тела на радиус-вектор этой точки.

МОДУЛЬ 4

ЛЕКЦИЯ 7

Модуль 4 состоит из двух лекций, в которых рассматриваются следующие вопросы:

1. Плоскопараллельное движение твердого тела.

2. Уравнения плоскопараллельного движения.

3. Разложение движения на поступательное и вращательное.

4. Определение скоростей точек плосой фигуры.

5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

6. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей.

7. Решение задач на скорости.

8. Определение ускорений точек плоской фигуры.

9. Решение задач на ускорения.

10. Мгновенный центр ускорений.

11. Сложное движение точки.

12. Относительное, переносное и абсолютное движения.

13. Теорема сложения скоростей.

14. Теорема сложения ускорений.

15. Цилиндрические зубчатые передачи.

16. Сложение поступательного и вращательного движений.

17. Винтовое движение.

Дата добавления: 2014-12-17; Просмотров: 677; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!