Геометрическая оптика. Уравнение искомой поверхности будем искать, используя принцип Ферма, (или иначе - принцип наименьшего времени

КВАНТОВАЯ ОПТИКА

Задача № 116 (8 баллов ) Решение: (РОФ, 2009)

Уравнение искомой поверхности будем искать, используя принцип Ферма, (или иначе - принцип наименьшего времени, утверждающий, что действительный путь распространения света есть путь для прохождения которого, свету требуется минимальное время, по сравнению с любым другим возможным путём между теми же точками).

Мысленно удаляя источник света D на бесконечность влево (см. рис.) и полагая, что по условию искомая отражающая поверхность отражает оба, рассматриваемых луча в фокус данной поверхности (т. О), запишем равенство пройденных лучами 1 и 2 путей. Введём обозначения: OC = f, OA = - x, AB = f - y. Тогда получим:

AB + BD = 2^.OC или . Отсюда, выражая y (x), найдём: .

Полученное уравнение – уравнение параболы!

Таким образом, указанным и в задаче и в произведении Алексея Толстого условиям, соответствует поверхность вращения – параболоид, а не гиперболоид! По условию задачи , и кроме того, f = L. Тогда найдём:

или

Задача № 117 (7 баллов ) Решение: (ОФ, 2009)

Оптическая сила линзы - величина обратная её фокусному расстоянию: Определим фокусное расстояние двояковыпуклой линзы, используя принцип Ферма. В соответствии с этим принципом, луч света из одной точки пространства в другую идёт за наименьшее время. Построим чертёж:

Если удалять источник света (т. A) на бесконечность, то лучи АВ и АС, будут падать на линзу перпендикулярно, встречаясь за линзой в её фокусе (т.D).

Так как времена движения волнового фронта в лучах ABD и ACD должны быть одинаковы (иначе не выполняется принцип Ферма), то оптические пути BMD и CD одинаковы. Таким образом, запишем:

(1).

Из геометрии известно, что произведения частей пересекающихся в окружности хорд одинаковы. Используя данную теорему, запишем равенство:

AO ^, OB = OC ^, OD,то есть (2). Так как , то: (3).

Учитывая, что в первом приближении ряд Маклорена функции имеет вид для ε << a, получим: или (4).

Окончательно найдём выражение для оптической силы тонкой линзы:

(5). Таким образом,при погружении в воду для того, чтобы хорошо видеть далеко расположенные предметы, например жемчуг,мышцам глаза необходимо было бы сжать хрусталик так, чтобы его фокусное расстояние уменьшилось бы, а оптическая сила возросла бы до величины или почти в 11 раз!

Отметим, что в реальности преломляющие свойства глаза во многом определяются и свойствами роговицы, а для операций по смене хрусталика глаза обычно используются таковые с оптической силой около 22 дптр.

Задача № 118 (3 балла ) Решение: (РОФ, 2006)

Парадокс, рассматриваемый в задаче, исчезает при учёте того, что реальная дождевая капля не является сферически симметричной из-за действия силы тяжести и других сил, действующих на каплю (форма капли тем ближе к сферической, чем больше коэффициент поверхностного натяжения или –чем легче капля!).

Задача № 119 (1 балл ) Решение: (РТ ОФШ 11кл, 2006)

Так как и рыбак, и снежный человек видят отражение Луны одновременно, то солнечные лучи, которые она отражает, падают на поверхность воды в проруби под определённым углом. Этот угол зависит только от расположения Луны по отношению к Земле. Учитывая значительную удалённость Луны от нашей планеты (384,4 тыс.км.), можно сделать вывод о том, что он практически не изменяется в пределах какой-либо местности в течении отрезка времени, за который наш естественный спутник незначительно смещается по небу.

Из закона отражения света и вышесказанного следует, что “ етти ” наблюдает отражение Луны под тем же углом, что и рыбак. Тогда искомое расстояние определится из уравнения:

(1) или

Задача № 120 (2 балла ) Решение: (ОФ, 2006)

Обозначим реальную и кажущуюся глубину ручья

соответственно, через H и h.

Из рисунка видно, что так как b = Const, то

и H / h = tgα / tg β ≈ sin α / sin β ≈ n

Задача № 121 (4 балла ) Решение: (РОФ, 2000)

Внутренний край прозрачных колец на гранях кубика начнёт светиться, если угол падения лучей, идущих от лампочки из центра куба к этому краю, достигнет значения, равному углу полного внутреннего отражения.

По закону полного внутреннего отражения света запишем:

(1). С другой стороны- (2).

Отсюда определим значение показателя преломления разбавленной водой кислоты, при котором в центре каждой грани радиус светлого круга равен: (3).

Найдём - радиус такого светлого круга для значения и

так же - радиус круга для значении . Для и показателя преломления кубика получим:

и или

и .

Таким образом, изобретателю необходимо прозрачным оставить кольцо с радиусами внутренней и внешней окружностей равными,соответственно, и . При концентрации кислоты, соответствующей , внутренняя часть кольца начнёт светиться, а при дальнейшем увеличении показателя преломления разведённой кислоты до будет светиться уже всё кольцо.

Так как, половина диагонали грани данного кубика равна , то при концентрации кислоты, соответствующей , радиус светлого круга коснётся вершин грани и, следовательно, лампочка сможет полностью освещать все грани, Учитывая, что круговые зоны каждой грани радиуса будут затемнены, придём к выводу, что в этом случае, фактически, будут светиться только вершины кубика.

Задача № 122 (9 баллов ) Решение:: (РОФ, 2001)

Задача № 123 (4 балла ) Решение::(ОФ, 2010)