Еліпс, гіпербола, парабола з осями, паралельними осям координат

Канонічне рівняння параболи. Параболою називається множина точок площини, кожна з яких однаково віддалена від даної точки і даної прямої. Дану точку називають фокусом, а дану пряму директрисою.

Позначимо фокус через . Відстань від фокуса до директриси називається параметром параболи і позначається .

Для виведення рівняння параболи виберемо систему координат так, щоб вісь проходила через фокус перпендикулярно директрисі в напрямку від директриси до фокуса. За початок координат виберемо середину між фокусом і точкою перетину директриси з віссю . Тоді рівняння директриси матиме вигляд: , а координати фокуса (рис. 9.9).

Нехай – довільна точка параболи. Проведемо відрізок перпендикулярно директрисі, тоді За означенням для довільної точки параболи і тільки для точок параболи справедлива рівність:

, тобто

– це і є рівняння параболи. Приведемо отримане рівняння до більш простого вигляду. Для цього піднесемо обидві частини рівняння до квадрату і приведемо подібні, отримаємо:

. (9.7)

Можна довести, що рівняння (9.7) рівносильне початковому рівнянню. Воно називається канонічним рівнянням параболи.

Розглянемо еліпс з центром в точці з осями, паралельними осям координат (рис. 9.11).

Перейдемо від системи координат до нової системи координат за допомогою паралельного переносу. При цьому початок координат перейде в точку , а осі , будуть паралельними осям , і однаково з ними направленими. Як відомо, формули перетворення координат при паралельному переносі осей координат на площині мають вигляд:

, . (9.8)

Так як нові осі координат співпадають з осями еліпса, а початок координат – з його центром, то відносно системи координат канонічне рівняння еліпса матиме вигляд:

. (9.9)

Підставивши в рівняння (9.9) замість їх вирази з (9.8), отримаємо рівняння еліпса з центром в точці з осями, паралельними осям координат:

. (9.10)

Аналогічно отримаємо рівняння гіперболи з центром в точці з осями, паралельними осям координат:

, (9.11)

якщо дійсна вісь паралельна осі , і

, (9.12)

якщо дійсна вісь паралельна осі .

Парабола з вершиною в точці задається рівнянням:

, (9.13)

якщо вісь симетрії паралельна осі , і

, (9.14)

якщо вісь симетрії паралельна осі .

Рівняння (9.10) – (9.14) є рівняннями вигляду

.

Останнє є частинним випадком загального рівняння кривої другого порядку на площині