Гіпербола

Дослідження форми еліпса за його рівнянням. Координати і входять в рівняння (9.1) в парних степенях, тому, якщо точка належить еліпсу, то і точки , , теж йому належать. Звідси випливає, що еліпс симетричний відносно осей координат і відносно початку координат.

– рівняння кола радіуса а з центром в .

Ексцентриситет еліпса. Форма еліпса залежить від відношення .

Відношення відстані між фокусами до довжини великої осі називають ексцентриситетомеліпса і позначають :

. (9.3)

Так як, , то . Зауважимо: якщо , то .

Підставивши в формулу (9.3) , отримаємо

або .

Звідси видно, що чим менше , тим ближче відношення до одиниці і, отже, тим ближче форма еліпса до форми кола. Таким чином, ексцентриситет характеризує ступінь стисливості еліпса.

Приклад 9.1. Скласти канонічне рівняння еліпса, фокуси якого лежать на осі , якщо:

а) відстань між фокусами рівна 24, а велика піввісь рівна 16;

б) відстань між фокусами рівна 8, а ексцентриситет рівний ;

в) відстань між фокусами рівна 24, а сума півосей рівна 18.

Розв’язок. а) Щоб скласти рівняння еліпса, треба знайти і . За умовою і або . Із співвідношення , отримаємо . Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. t

б) Так як за умовою і , то і , звідки . Із співвідношення , отримаємо . Отже, шукане рівняння матиме вигляд

. t

в) За умовою або і . Щоб знайти і , використавши співвідношення , складемо систему рівнянь:

З останньої маємо

.

Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. t

Приклад 9.2. Скласти канонічне рівняння еліпса, що проходить через точки

, .

Розв’язок. Щоб скласти рівняння еліпса, треба знайти і . Так як точки , лежать на еліпсі, то їх координати задовольняють його рівнянню. Отримаємо:

.

Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. t