Парабола. Канонічне рівняння гіперболи

Дослідження форми гіперболи за її рівнянням. Координати і входять в рівняння (9.4) в парних степенях, тому гіпербола симетрична відносно осей координат і відносно початку координат.

Для точок, що лежать в першій координатній чверті () маємо

.

З цієї рівності випливає, що . При : . При зростанні значення теж зростають, і точка кривої при цьому необмежено віддаляється від осей і .

Побудуємо гіперболу в першій координатній чверті і, враховуючи симетрію, відобразимо побудовану частину відносно осей координат (рис. 9.5). Гіпербола складається з двох частин, які називаються вітками.

Центр симетрії називають центром гіперболи. Точки – точки перетину гіперболи з віссю називають вершинами гіперболи. З віссю гіпербола не перетинається. Відрізок , а також його довжина називаються дійсною віссю гіперболи, а число – уявною віссю гіперболи.

Рівняння теж є рівнянням гіперболи. Фокуси такої гіперболи лежать на осі (рис. 9.6). В цьому випадку точки є вершинами гіперболи, а – дійсною віссю, – уявною.

Якщо , то гіпербола називається рівносторонньою.

Асимптоти гіперболи. Пряма називається асимптотою необмеженої кривої , якщо відстань від точки кривої до цієї прямої прямує до нуля при необмеженому віддаленні точки вздовж кривої від початку координат (рис. 9.7).

Покажемо, що гіпербола, задана рівнянням (9.4), має дві асимптоти:

і . (9.5)

Так як прямі (9.5) і гіпербола (9.4) симетричні відносно осей координат, то достатньо розглянути тільки ті їх точки, що лежать в першій координатній чверті.

Візьмемо на прямій точку з такою ж абсцисою , як і в точки , що лежить на гіперболі (рис. 9.8) і знайдемо різницю між ординатами прямої і вітки гіперболи:

.

Чисельник отриманого дробу є постійною величиною, а знаменник збільшується при зростанні . Отже, довжина відрізка прямує до нуля при . Так як , то теж прямує до нуля. Таким чином, прямі

є асимптотами гіперболи.

Для гіперболи, заданої рівнянням , асимптоти також мають вигляд (9.5).

При побудові гіперболи доцільно спочатку побудувати прямокутник з центром симетрії в початку координат із сторонами , . Прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника, будуть асимптотами гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи. Відношення відстані між фокусами до довжини дійсної осі називають ексцентриситетомгіперболи і позначають :

. (9.6)

Так як , то .

Ексцентриситет характеризує форму гіперболи. Дійсно, підставивши в формулу (9.6) , отримаємо

або .

Звідси видно, що чим менше , тим менше відношення і тим менші кути між асимптотами, в яких розташована гіпербола.

Якщо гіпербола задана рівнянням , то ексцентриситет знаходимо за формулою .

Приклад 9.3. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі , якщо відстань між фокусами рівна 30, а дійсна вісь рівна 16.

Розв’язок. Щоб скласти рівняння гіперболи, треба знайти і . За умовою або і або . Із співвідношення , отримаємо . Таким чином, шукане рівняння матиме вигляд

. t

Приклад 9.4. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на осі , якщо уявна вісь рівна 10, а ексцентриситет рівний . Знайти її асимптоти.

Розв’язок. Так як за умовою і , то і . Отримаємо: . Звідки або .

Отже, шукане рівняння гіперболи матиме вигляд

,

а рівняння асимптот –

. t