Теорема Вейерштрасса 1

Всякая функция, непрерывная на сегменте, ограничена на нем, т.е. , ;

Приведем пример функции (заданной для удобства графически), иллюстрирующей содержание теоремы.

Обратное утверждение не имеет места, для этого достаточно указать соответствующий пример – контрпример.

Контрпример.

Множество – ограниченное, но функция не является непрерывной на .

Доказательство теоремы проведем методом от противного.

Пусть – неограниченное множество, т.е. .

Последовательность – ограниченная и из нее можно
выделить сходящуюся подпоследовательность, т.е. .

Тогда в силу предположения для всякого и
при .

Но по условию теоремы непрерывна в точке , , и – конечное число.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 614; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!