Теорема Вейерштрасса 2

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на сегменте, достигаются в некоторых точках этого сегмента, т.е. .

Контрпример.

Здесь

,

,

но , т.е. не является функцией, непрерывной на .

Доказательство. По теореме 1 множество – ограниченное, поэтому имеет грани. Пусть

.

Пусть , . Тогда выделяется последовательность значений аргументов на , для которой при любом .

Из ограниченной последовательности выделяем сходящуюся подпоследовательность , т.е. .

Поскольку для каждого и
при , то по теореме о пределе промежуточной функции имеем .

Аналогично доказывается , .

Теорема устанавливает достаточные условия существования абсолютного (глобального) экстремума на для непрерывной функции , .

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 547; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!