Доказательство. Лемма о нуле непрерывной функции

Лемма о нуле непрерывной функции.

Если 1) ; 2) , то .

Для определенности пусть и .

1. Рассмотрим точку . Если

, то и доказательство закончено, так как . Если , то число имеет определенный знак, пусть . Выберем тот "половинный" сегмент, на концах которого функция имеет значения противоположного знака. В нашем случае (см. рисунок) это сегмент , для него имеем , .

2. Рассмотрим . Если , то .

Если , то выберем сегмент так, чтобы

, и длина была равна половине длины предыдущего сегмента, т.е. .

Процесс продолжим либо до тех пор, пока не обратится в ноль, либо при .

Получим последовательность сегментов , вложенных и стягивающихся по длине к нулю, для которых (у нас) и . По принципу Кантора, . Воспользуемся теоремой о переходе к пределу
в неравенстве и непрерывностью на , т.е., в частности,
в точке . Получим .

Замечание. Лемма определяет достаточное условие существования корня уравнения . Если установлено заранее, что на корень единственный, то изложенная в доказательстве процедура построения последовательности сегментов , содержащих корень , составляет суть приближенного метода "половинного деления" решения нелинейного уравнения.

Обратное утверждение неверно.

Контрпример и примеры на существенность условий леммы
рекомендуем привести самостоятельно.

Теорема Коши (о промежуточном значении)

Если

1) ;

2) , то для любого числа , расположенного между числами и , найдется значение
аргумента , такое, что .

Доказательство. Функция удовлетворяет условиям леммы о нуле непрерывной функции, и поэтому существует , такое, что , итак, .

Теорема доказана.

Замечание. Для функции , непрерывной на , существует (или ) , на концах которого функция достигает своих наименьшего и наибольшего значений и . По теореме Коши всякое промежуточное между и число является значением в некоторой точке сегмента , а значит, и , т.е. непрерывная функция отображает сегмент в сегмент .

Дата добавления: 2014-01-13; Просмотров: 561; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!