Рассматриваем первую связь (2.3.32)

Пример

Пример неинтегрируемой связи

В дополнении 4 (см. стр. 43) приводится пример неинтегрируемой связи вида (2.3.27). Здесь же рассмотрим пример двух неинтегрируемых связей, который будет полезен при изучении линейных дифференциальных связей в случае s>1.

Пусть даны две дифференциальные связи, которые описываются уравнениями в полных дифференциалах следующего вида:

(2.3.32)

Уравнения связей заданы при и любых значениях и . Проверим условие интегрируемости каждой связи в отдельности.

В обозначениях, которые приняты для уравнений в полных дифференциалах, из этой связи находим:

(2.3.33)

Запишем условие Фробениуса (2.3.19) для

. (2.3.19)

Подстановка функций и аргументов из соотношений (2.3.33):

(2.3.33)

со значениями индексов в левую часть (2.3.19) приведет ее к следующему виду:

.

Поскольку функция не является тождественным нулем, то это значит, что условие Фробениуса (2.3.19) не выполняется.

А тогда из теоремыФробениуса следует, что первое уравнение из (2.3.32) неинтегрируемо.

Аналогично устанавливается, что и вторая дифференциальная связь из системы (2.3.32) не будет интегрируемой.

Действительно, для второй связи имеем:

, , , ,

, , , .

А тогда при значениях индексов получим левую часть условия Фробениуса в виде функции , которая не является тождественным нулем. Это значит, что условие Фробениуса не выполняется.

Однако если эти две связи рассматривать совместно (как систему уравнений в полных дифференциалах), то такая система связей будет вполне интегрируемой.

Это утверждение будет доказано в следующем пункте после того, как дадим вывод необходимых и достаточных условий интегрируемости системы уравнений в полных дифференциалах в случае .

4º. Условия интегрируемости
линейных дифференциальных связей в случае s>1

4.1. Преобразование уравнений связей
к специальному виду

В случае линейные дифференциальные связиописываютсясистемой уравнений в полных дифференциалах:

, . (2.3.34)

Здесь — количество связей, . Коэффициенты , , , являются функциями от переменных , заданными и непрерывно дифференцируемыми при любом .

Коэффициенты образуют матрицу размерности .

Будем считать, что

при любых .

Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что определяется по первым столбцам, т.е. определитель матрицы , составленный из первых столбцов, в любой фиксированной точке отличен от нуля.

В силу непрерывности элементов матрицы , рассматриваемых как функции от , этот определитель будет отличен от нуля в некоторой окрестности фиксированной точки .

Поэтому систему (2.3.34) можем разрешить относительно дифференциалов (рассматривая ее как линейную систему алгебраических уравнений относительно ).

Обозначим:

— вектор-столбец размерности , составленный
из первых компонент вектора ,

— вектор-столбец размерности , ,

составленный из оставшихся компонент вектора :

, .

Тогда система (2.3.34) перепишется в виде

. (2.3.35)

Здесь:

· матрица размерности определена и непрерывно дифференцируема по компонентам векторов и в области ;

· и — вектора, составленные из дифференциалов , , и , .

4.2. Понятие интегрируемости
и полной интегрируемости системы (2.3.35)

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 665; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!