Затухающие гармонические колебания

Лекция № 8

Механические колебания

5.6. Затухающие гармонические колебания.

5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

5.8. Вынужденные колебания.

5.9. Резонанс.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

, (5.6.1)

где m − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

ma = − kx − r u. (5.6.2)

Учитывая, что , а , и разделив на массу m, получим

. (5.6.3)

Применив обозначения и получим

− (5.6.4)

дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Отметим, что w₀ представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой.

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

. (5.6.5).

Проведем замену переменных

и

. (5.6.6)

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

. (5.6.7)

Преобразуем, сократив на

. (5.6.8)

. (5.6.9)

В случае большого сопротивления среды , движение становится непериодическим.

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

. (5.6.10)

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний (5.6.4)

или . (5.6.11)

В соответствии с видом полученной функции движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой

, (5.6.12)

периодом

(5.6.13)

и амплитудой, изменяющейся по закону

. (5.6.14)

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A (t), причем величина A ₀ представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит от A ₀ и также от начальной фазы j, т. е. .

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 1253; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!