Условие монотонности функции. Определение максимума и минимума функции в точке

Асимптоты графика функции.

Определение выпуклости и вогнутости графика функции. Достаточное условие выпуклости и вогнутости графика. Необходимое и достаточное условие существования перегиба.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Достаточное условие существования экстремума функции одной переменной.

Необходимое условие существования экстремума функции одной переменной.

Условие монотонности функции. Определение максимума и минимума функции в точке.

Лекция 5. Применение производных к исследованию функций.

Пусть функция определена и дифференцируема на .

Теорема 1. Если для , тогда постоянна на .

Теорема 2. Если , тогда возрастает на .

Теорема 3. Если, тогдаубывает на .

Доказательство теоремы 3.

Пусть и , . Применим теорему Лагранжа к функции на : , где . Так как по условию , то и при - убывает.

Замечание. Положительность (отрицательность) производной на интервале не является необходимым условием возрастания (убывания) функции на . Так, функция возрастает на , но производная этой функции не является всюду положительной на этом интервале (в точке обращается в ноль).

Пусть функция определена на множестве X, и . Определение. Точка называется точкой локального max функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой при .

Определение. Точка называется точкой локального min , если существует окрестность точки , для всех точек которой при .

Точки локального max и min функции называются экстремумами, а значение функции в этих точках - экстремальным.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 449; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!