Інтегрування деяких ірраціональних функцій

1. Інтеграли типу раціоналізуються підстановкою , де - найменше спільне кратне . Має бути . Дійсно,

,

де - натуральні числа. Таким чином, підінтегральна функція стала раціональною.

Окремі випадки:

а) , , ,

Інтеграл раціоналізується підстановкою , де - НСК ;

б) ,

Інтеграл раціоналізується підстановкою , де - НСК .

2. Інтеграли типу за допомогою підстановки зводяться до одного з інтегралів:

а) ;

б) ;

в) .

Інтеграл а) зводиться до інтегралу виду підстановкою або ; інтеграл б) зводиться до інтегралу виду підстановкою або ; інтеграл в) зводиться до інтегралу виду підстановкою або .

Інтеграли цього типу раціоналізуються також за допомогою так званих підстановок Ейлера:

1) якщо , то ;

2) якщо , то ;

3) якщо - корені тричлена

,

то , .

3. Інтеграли вигляду , де , називаються інтегралами від диференціальних біномів. Вони раціоналізуються за допомогою підстановок Чебишова у таких випадках:

а) –підстановка , де –найменший спільний знаменник дробів і ;

б) –підстановка , де - знаменник дробу ;

в) –підстановка (), де - знаменник дробу .

Зауваження. Якщо інтеграл цього типу не підходить ні під один з трьох випадків, то його не можна виразити через інтеграл від раціональної функції (він “не береться”). Першим це встановив П.Л.Чебишов (1821-1894рр.)

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 3095; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!