Метод Стокса. Розглядаючи рух тіл в рідинах і газах, було вказано на формулу Стокса, яка визначає силу опору при русі тіла сферичної форми у в’язкому середовищі

3. Якщо вектор швидкості в кожній точці простору з часом не змінюється, то така течія рідини або газу називається стаціонарною і, відповідно, векторне поле швидкостей теж буде стаціонарним

4. Векторне поле швидкостей можна наглядно зобразити за допомогою ліній течії, дотичні до яких у кожній точці визначають напрям швидкості рідини чи газу саме у даній точці.

З енергетичної точки зору рівняння Бернуллі записують як суму питомих енергій рідини. Питома енергія тіла – це його енергія, віднесена до одиниці маси. Наприклад, розділивши значення динамічного тиску на густину рідини , отримаємо питому кінетичну енергію.

Аналогічно, розділивши значення статичного та гідростатичного тиску на густину рідини , отримаємо відповідні значення питомих енергій, зумовлених цими тисками. Отже, ввівши поняття питомої енергії рівняння Бернуллі у значеннях питомої енергії рідини у різних частинах струмини течії прийме наступний вигляд:

. (5.8.6)

Тобто, рівняння Бернуллі є виразом закону збереження і перетворення енергії для встановленого режиму течії.

8. Наслідки з рівняння Бернуллі.

Так як вздовж лінії течії ідеальної рідини або газу сума всіх тисків є сталою величиною, то зміна одного з тисків приведе до відповідної зміни інших тисків. Наприклад, збільшення швидкості потоку приводить до збільшення динамічного тиску, але тоді, згідно рівняння Бернуллі, зменшується статичний тиск. З такої точки зору розглядаються окремі наслідки з рівняння Бернуллі:

1. Швидкість витікання рідини через невеликий отвір, який знаходиться на відстані від поверхні рідини дорівнює:

. (5.8.7)

З цієї формули видно, що частинки рідини, виходячи з отвору, мають таку саму швидкість, яку б вони набували, вільно падаючи з висоти Н до рівня отвору.

Ще одна важлива задача гідродинаміки стосується витікання рідини через малі вихідні отвори насосів, компресорів. Особливо це стосується нафтової промисловості, коли нафта, знаходячись під великим тиском, з свердловини поступає в експлуатаційний трубопровід через малий отвір (який називають штуцер). Як наслідок, з рівняння Бернуллі отримуємо значення швидкості рідини густиною , коли ця рідина під тиском витікає з малого отвору:

. (5.8.8)

2. Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії.

При горизонтальному розташуванні трубки течії гідростатичні тиски в усіх ділянках трубки однакові, тому для такого горизонтального розташування трубки течії ідеальної рідини чи газу рівняння Бернуллі прийме наступний вигляд:

. (5.8.9)

На основі вимірювання тисків в рухомій рідині базується метод вимірювання її швидкості. Трубка, розташована відкритим кінцем до потоку рідини, називається трубкою Піто і дає можливість визначити динамічний тиск потоку, а значить, і його швидкість.

3. Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці.

Той факт, що збільшення швидкості струмини рідини чи газу приводить до зменшення статичного тиску знаходить велике застосування у техніці. Одним з найбільш відомих технічним прикладом, де застосовується такий наслідок з рівняння Бернуллі, є карбюратор двигуна внутрішнього згорання. Повітря, яке захоплюється поршнем двигуна, проходячи через вузьку частину труби карбюратора, збільшує швидкість. У результаті збільшення швидкості утворюється зона зменшеного тиску, яка засмоктує паливо і, змішуючи його з повітрям, подає у двигун горючу суміш.

Зменшення тиску в рідині при збільшенні її швидкості, як наслідок рівняння Бернуллі, використовується у водоструменевих насосах, де у місцях звуження швидкість струмини зростає, що приводить до утворення зони зменшеного тиску, яка засмоктує повітря.

4. Природні явища, де мають місце наслідки з рівняння Бернуллі.

Особливе природне явище, де в глобальних масштабах мають місце наслідки з рівняння Бернуллі – це циклони – гігантські атмосферні вихри, які у діаметрі можуть досягати декілька тисяч кілометрів. У результаті обертання повітряних мас (збільшення їх швидкості), як випливає з рівняння Бернуллі, знижується статичний тиск.

Ще одне атмосферне явище, у якому велика швидкість повітряних мас приводить до значного зменшення статичного тиску і великої руйнівної дії – це смерч або торнадо. Швидкість вітру у смерчах може наближатись до швидкості звуку і тиск складає 0,4 атмосферного тиску. Смерч, як гігантський порохотях, роль якого виконує вихор діаметром до 500 м, засмоктує у себе навіть автомобілі.

9. Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість).

При взаємному переміщенні шарів реальних рідини і газів один відносно одного виникає сила, яка перешкоджає цьому переміщенню. Ця сила називається силою внутрішнього тертя або в’язкістю і залежить від площі шарів, відстані між ними, різниці швидкостей шарів та від природи рідини чи газу і встановлюється наступним законом, який називається законом Ньютона для внутрішнього тертя:

, (5.8.10)

де відношення називається градієнтом швидкості, тобто фізична величина, яка вказує бистроту зміни швидкості від шару до шару в перпендикулярному напрямі. Ввівши поняття градієнта швидкості, математичний запис закону Ньютона для внутрішнього тертя можна прочитати наступним чином:

Коефіцієнт η пропорційності називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або коефіцієнтом динамічної в’язкості. Коефіцієнт динамічної в’язкості рідини чи газу чисельно дорівнює силі внутрішнього тертя, що діє на одиницю площі шарів рідини або газу при їх плоско-паралельній течії з градієнтом швидкості, рівним одиниці. В системі СІ одиницею вимірювання цього коефіцієнта є .

Відношення динамічної в’язкості рідини чи газу до їх густин називається кінематичною в’язкістю

. (5.8.11)

Якщо градієнт швидкості у різних частинах течі неоднаковий, то у законі Ньютона для внутрішнього тертя градієнт швидкості визначається відношенням елементарної зміни швидкості на елементарній відстані між шарами рідини чи газу:

. (5.8.12)

10. Течія Пуазейля. Формула Пуазейля.

Якщо через круглу трубу протікає в’язка рідина, то біля самої стінки рідина «прилипає» до поверхні стінки і швидкість дорівнює нулю. В центрі труби швидкість рідини буде максимальною. У даному випадку течію рідини можна уявити як відносний рух окремих циліндричних кільцевих потоків і така течія називається течією Пуазейля. Швидкість рідини в’язкістю в залежності від відстані від центра труби змінюється по параболічному закону:

(5.8.13)

де – різниця тисків на кінцях труби, – її радіус, – довжина. Тоді у центрі труби швидкість рідини дорівнює:

, (5.8.14)

а об’ємна витрата рідини, яка протікає через таку трубу визначається формулою Пуазейля:

. (5.8.15)

11. Ламінарний та турбулентний режим течії. Числа Рейнольда. Рух тіл в рідинах і газах

Ламінарний (від латинського смужка, пластинка) – такий режим течії, коли шари рідини чи газу не переміщуються, а ковзають як «пластинки» один відносно одного. При турбулентному режимі (від лат. вихровий) частинки рідини або газу набувають швидкості, перпендикулярної течії і переходять з шару в шар, викликаючи завихрення.

Питання визначення умов, за яких відбувається перехід від ламінарного до турбулентного потоку, мають велике практичне значення, так як поява турбулентності суттєво збільшує опір руху тіл в рідинах і газах. Цими питаннями займався англійський фізик Рейнольдс і встановив фізичну величину, що визначає появу турбулентності, і ця величина отримала назву числа Рейнольдса:

(5.8.16)

де – швидкість течії рідини ν, її в’язкість η та густина ρ, а також лінійний параметр d, який характеризує умови течії, наприклад – діаметр труби.

Для циліндричної труби при значеннях числа Рейнольдса спостерігається ламінарний режим течії. При має місце перехід до турбулентного режиму, а при течія турбулентна.

При русі тіла у в’язкій рідині або у реальному газі тонкий шар рідини або газу «прилипає» до поверхні тіла і рухається з ним як одне ціле. Цей шар називається пограничним і він захоплює у рух наступні шари, що зумовлює силу опору внаслідок внутрішнього тертя. Для тіла сферичної форми радіуса така сила опору пропорційна його швидкості і визначається формулою Стокса:

. (5.8.17)

При русі у газі тіла несиметричної форми можлива поява сили, яка перпендикулярна швидкості потоку рідини чи газу. Крило літака має таку форму, що набігаючий потік повітря створює навколо крила замкнутий вихор і в результаті швидкість повітря над крилом більша, ніж під крилом. Ця різниця швидкостей, згідно рівняння Бернуллі, зумовлює різницю тисків – над крилом, де швидкість більша, статичний тиск менший, а під крилом буде більший, адже там швидкість повітря менша, у результаті чого і виникає підіймальна сила .

12. Елементи реології.

Реологія (від грецького «рео» – течія та «логос» – наука) буквально значить наука про течію. У більш широкому розумінні реологія – це наука про деформації та текучість різноманітних систем. Реологія тісно переплітається з гідромеханікою, теоріями пружності, пластичності і повзучості.

1. Ньютонівські та неньютонівські системи.

Течія рідини або газу, коли їх шари переміщаються один відносно одного, являє собою безперервну деформацію зсуву. Ця деформація відбувається під дією сили , яка тангенціальна (дотична) до шару рідини або газу. Відношення цієї сили до площі поверхні, вздовж якої діє така сила, називається тангенціальним або дотичним напруженням і позначається , так що .

Б перервна деформації деформація зсуву визначається швидкістю деформації і в реології ця швидкість деформації, як похідна від кута зсуву по часу дорівнює градієнту швидкості:

. (5.8.18)

Тому закон Ньютона для внутрішнього тертя у реології записується у наступному вигляді:

. (5.8.19)

Система, для якої коефіцієнт в’язкості не залежить від швидкості деформації, називається ньютонівською, оскільки описується відповідним законом Ньютона (5.8.19). Для такої системи графічна залежність дотичного напруження , від швидкості деформації є пряма 1 (рис.5.8.3).

Якщо в’язкість системи залежить від швидкості деформації, то така система називається неньютонівською, що зумовлено наявністю просторової структури.

Якщо за дуже малий проміжок часу відбувається руйнування структури неньютонівської системи, а далі її поведінка описується лінійним законом Ньютона, то така реологічна система називається бінгамівським пластиком. Реологічна крива даних систем являє собою пряму лінію 2 (рис.5.8.3), яка перетинає вісь дотичних напружень на відстані від її початку і значення називають статичним напруженням зсуву, після чого починається ньютонівська течія. Реологічне рівняння бінгамівського пластика є лінійна функція:

. (5.8.20)

Реологічна система, яка враховує не миттєве руйнування структури даної системи, називається псевдопластиком. Перша ділянка реологічної кривої 3 (рис.5.8.3) псевдопластика має нелінійний характер, що зумовлено руйнуванням просторової структури даної системи. Лінійна ділянка відповідає ньютонівській течії. Якщо продовжити цю лінійну ділянку, то в перетині з віссю напружень отримаємо значення , яке ніби є напруженням зсуву, тому таку систему і назвали псевдопластиком, а значення τ_0, на відміну від статичного напруження зсуву, є динамічним напруження зсуву.