Теорема Штейнера

Таким чином, векторне поле швидкостей можна наглядно зобразити з допомогою ліній течії, як це вказано на рис.5.1.1. Лінію течії можна провести через будь яку точку простору. Якщо провести скільки завгодно ліній, то вони просто зіллються одна з одною. Тому для наглядного зображення течії рідини чи газу будують лише частину ліній, так що по густоті ліній течії можна визначити швидкість рідини або газу. Найпростіший випадок – однорідне векторне поле швидкостей, де лінії течії є паралельні прямі з однаковою густиною. Даючи означення математичного векторного поля абстрактного вектора (див.2.4.2) було сказано, «а чи не нагадують такі паралельні лініє та ще й з стрілочками лінії течії рідини»? Тому тепер замість абстрактного вектора вкажемо на вектор швидкості частинок рідини, яка у буквальному розумінні тече через контур площею . І тепер, знову ж таки, замість абстрактного математичного потоку вектора через контур площею маємо справжній потік рідини, де потік вектора швидкості через площу такого контуру дорівнює

, (5.1.1)

– кут між вектором швидкості та перпендикуляром до поверхні або

, (5.1.2)

де – нормальна проекція площі контуру на напрям вектора швидкості. Потік вектора є скалярна величина і в теорії векторного поля було показано, що потік абстрактного математичного вектора через поверхню визначається скалярним добутком цього вектора на «особливий» вектор площі , де – одиничний вектор, перпендикулярний до даної поверхні. Тому потік вектора швидкості через контур площею як скалярний добуток двох векторів та має наступний вигляд

, (5.1.3)

(порівняйте з…)

Якщо поле вектора швидкості неоднорідне, то загальний потік цього вектора через контур площею дорівнює інтегральній сумі елементарних потоків через елементарні поверхні , у межах яких швидкість можна вважати однаковою

, (5.1.4)

(порівняйте з…)

Що стосується фізичного змісту потоку вектора швидкості, то цей зміст розриває одиниця вимірювання цього потоку

. (5.1.5)

Тобто, потік вектора швидкості через поверхню визначає об’єм рідини, що протікає через дану поверхню за одиницю часу (поверхня орієнтована перпендикулярно до вектора швидкості і поле вектора швидкості однорідне). Якщо вибрати поверхню одиничної площі, що перпендикулярна до вектора швидкості рідини чи газу, то у випадку однорідного векторного поля швидкості потік вектора швидкості через таку поверхню чисельно дорівнює кількості ліній течії, які перетинають цю поверхню. Наприклад, через площу за одну секунду протікає води. Тоді цю площу перетинають 4 перпендикулярні до такої площі лініЇ течії. А якщо об’ємна витрата води , то як через площу провести 0,4 лінії? Дуже просто: площу перпендикулярно до неї перетинає всього одна лінія течії.

Частина рідини або газу, обмежену лініями течії, називається трубкою течії. Приклад трубки течії наведений на рис 5.3, де рідина буквально тече в трубі з різними поперечними перерізами. Рідина практично нестискувана, тому за однаковий час через різні перерізи трубки течії протікають однакові об’єми рідини. За однаковий час частинки рідини у широкій частині трубки течії, маючи швидкість , пройдуть відстань , а у вузькій при швидкості – відстань . Враховуючи рівність об’ємів рідини, які за однаковий час протікають через різні поперечні перерізи трубки течії отримаємо:

. (5.1.6)

Подібні розрахунки стовно до будь якої пари перерізів трубки течії дадуть такий самий результат. Таким чином, для нестискуваної рідини величина у будь-якому поперечному перерізі одної і тієї ж трубки течії повинна бути однаковою

Дійсно, добуток визначає потік вектора швидкості, одиницею вимірювання якого є і тому потік вектора швидкості в гідромеханіці називають об’ємною витратою рідини і позначають .

З умови нерозривності струмини впливає, що при зменшенні поперечного перерізу трубки струмини рідини її швидкість збільшується, отже частинки рідини набувають прискорення. Причини такого прискорення встановлює динаміка рідин і газів. Для ідеальних рідин та газів основним рівнянням їх динаміки є рівняння Бернуллі.

5.2 Рівняння Бернуллі

Основне рівняння динаміки матеріальної точки або тіла при поступальному русі – це другий закон Ньютона. Якщо описувати рух рідин чи газів методом Лагранжа, то для кожної частинки рідини чи газу необхідно застосовувати другий закон Ньютона. Уявіть, скільки для цього потрібно рівнянь. Значно простіше застосовувати метод Ейлера. Стосовно динаміки, цей метод вже не вимагає визначення сили на кожну частинку рідини чи газу, а користується поняттям тиску, так як саме тиск (точніше різниця тисків) зумовлює зміну швидкості, отже, і зміну кінетичної енергії виділеного об’єму рідини чи газу. Тому для опису динаміки рідин і газів зручно застосовувати енергетичний підхід до такого опису – визначити як зміниться механічна енергія виділеного об’єму рідини за рахунку роботи сил тиску або сил тяжіння. Такий енергетичний підхід до поставленої задачі ілюструє рис.5.2.1.

Маємо довільну трубку течії. На рисунку – це буквальна труба довільної форми повністю заповнена рідиною і закрита краном – рідина не витікає. За допомогою манометрів М₁ та М₂ можна виміряти тиск всередині рідини у різних поперечних перерізах трубки. При закритому крані тиск всередині рідині в усіх перерізах однаковий. Перший та другий манометри показують, як вказано на рисунку, однакові тиски. Дійсно, якщо до поперечного перерізу

як до поршня площею прикладена сила , то значення тиску становитиме величну, рівну відношенню і, згідно закону Паскаля, такий тиск у рідині чи газі передається в усі напрями без змін. Отже, до іншого поперечного перерізу прикладена сила , cстворюючи такий самий тиск:

. (5.2.1)

(Строго кажучи, покази другого манометра будуть дещо більшими, ніж першого за рахунок різниці гідростатичних тисків ).

А тепер відкриємо кран – перейдемо від гідростатики до гідродинаміки. При цьому навіть при горизонтальному розташуванні трубки течії (при однакових гідростатичних тисках) покази першого і другого манометрів вже не однакові. В місцях меншого перерізу швидкість рідини зростає, рідина набуває прискорення і тому в напрямі збільшення швидкості у напрямі зменшення поперечного перерізу трубки течії рідини тиск зменшується.

За достатньо малий проміжок часу змішення частинок рідини можна вважати настільки малими, що виділені елементи рідини у трубці течії мають циліндричну форму (рис.5.2.1. 2) так що їх об’єм становить . Враховуючи, що

,, (5.2.2)

де та – швидкості рідини у відповідних перерізах трубки течії отримаємо, що об’єм виділеного елементу рідини дорівнює:

. (5.2.3)

При густині рідини, що заповнює трубку течії маса виділеного елементу становить

. (5.2.4)

Повна механічна енергія елементу такої маси дорівнює сумі кінетичної та потенціальної енергій. У першому поперечному перерізі вона дорівнює

, (5.2.5)

а в другому

. (5.2.6)

Приріст повної механічної енергії виділеного елемента відбувається за рахунок роботи зовнішніх сил виконаних при переміщенні виділеного об’єму рідини. Так, під дією сили прикладеної до поперечного перерізу, як до поршня площею , за час відбудеться переміщення на і тоді робота такої сили дорівнює

. (5.2.7)

Робота сили , яка має протилежний напрям переміщення рідини у другому поперечному перерізу становить

. (5.2.8)

Отже,

. (5.2.9)

Враховуючи, що , а

отримаємо

(5.2.10)

Перерізи та в трубці течії вибрані довільно. Тому можна стверджувати, що у будь-якій точці перерізу трубки течії вираз має однакове значення.

Отриманий результат можна сформулювати наступним чином: у стаціонарній течії ідеальної рідини вздовж будь якої лінії течії виконується умова

. (5.2.11)

Рівняння 5.2.10 або рівнозначне йому рівняння 5.2.11 вперше було отримане шведським математиком і фізиком Даніелем Бернуллі (1700-1782рр.) і називається рівнянням Бернуллі. В це рівняння входять значення трьох тисків, сума яких для встановленого режиму течії ідеальної рідини є величина стала. Розглянемо фізичний зміст цих тисків

– статичний тиск, тиск всередині рідини;

– тиск напору струмини рідини (динамічний тиск);

– гідростатичний або ваговий тиск, тиск нерухомого стовпчика рідини висотою .

Про наслідки з рівняння Бернуллі, про те як зміна швидкості приводить до збільшення динамічного тиску і, відповідно, до зменшення статичного тису буде сказано пізніше. Але рівняння Бернуллі, як видно з його виводу, є виразом закону збереження і перетворення енергії для встановленого режиму течії ідеальної рідини. Тому з енергетичної точки зору рівняння Бернуллі записують як суму питомих енергій рідини. Питома енергія тіла – це його енергія, віднесена до одиниці маси. Наприклад, розділивши значення динамічного тиску на густину рідини отримаємо питому кінетичну енергію рідини при даній швидкості , у чому легко переконатись з аналізу одиниць вимірювань:

. (5.2.10)

Аналогічно, розділивши значення статичного та гідростатичного тиску на густину рідини , тримаємо відповідні значення питомих енергій зумовлених цими тисками. Отже, ввівши поняття питомої енергії, рівняння Бернуллі у значеннях питомої енергії рідини у різних частинах струмини течії прийме наступний вигляд:

. (5.2.11)

Таким чином, у стаціонарній течії ідеальної рідини вздовж будь-якої лінії течії сума питомих енергій рідини є величина стала.

Рівняння Бернуллі достатньо задовільно виконується і для реальних рідин та газів, якщо в них внутрішнє тертя досить мале, а зміною об’єму газів при незначних змінах тиску можна нехтувати. Тому доцільно розглянути окремі приклади та наслідки застосування рівняння Бернуллі.

5.3 Наслідки з рівняння Бернуллі

5.3.1 Швидкість витікання рідини через невеликий отвір

Нехай у циліндричній посудині зроблено невеликий отвір, такий, що його площа поперечного перерізу значно менша площі перерізу в широкій частині. Треба визначити швидкість витікання рідини через такий отвір на відстані від поверхні рідини. Тут зручно записати рівняння Бернуллі через питому енергії рідини у двох перерізах – у широкій частині посудини, де рідина опускається зі швидкістю та в малому отворі, з якого рідина витікає з швидкістю :

(5.3.1)

Тиск рідини у верхньому перерізі відкритої поверхні рідини дорівнює атмосферному. Нехтуючи зміною атмосферного тиску у межах висоти посудини можна вважати, що , тоді рівняння 5.3.1 буде мати вигляд:

. (5.3.2)

З рівняння нерозривності струмини випливає, що

, (5.3.3)

і коли площа отвору у бічній поверхні посудини значно менша площі перерізу самої посудини, то швидкістю опускання рідині у посудині можна нехтувати у порівнянні зі швидкістю витікання рідини через малий отвір. Отже,

. (5.3.4)

Так як , приходимо до кінцевої формули швидкості витікання рідини через малий отвір, який знаходиться на відстані від поверхні рідини

. (5.3.5)

Цей кінцевий вираз носить назву формули Торрічеллі. З цієї формули видно, що частинки рідини, виходячи з отвору, мають таку ж швидкість, яку б вони набували, вільно падаючи з висоти Н до рівня отвору.

Ще одна важлива задача гідродинаміки стосується витікання рідини через малі вихідні отвори насосів, компресорів. Особливо це стосується нафтової промисловості, коли нафта, знаходячись під великим тиском, з свердловини поступає в експлуатаційний трубопровід через малий отвір, який називають штуцер. В такому випадку рівняння Бернуллі прийме вигляд

, (5.3.6)

де – тиск в компресорі (свердловині), який значно більший тиску в рідині, що пройшла через малий отвір. Отже,

. (5.3.7)

При великих тисках (порядку 10⁵ – 10⁶ Па) швидкість витікання рідини може досягати 100 м/с і така струмина рідини (газу) використовується як своєрідний „ріжучий” інструмент для гірських виробіток.

5.3.2 Горизонтально розташована трубка течії. Вимірювання швидкості течії

Якщо трубка течії розташована горизонтально (рис.5.3.2), то для всіх її поперечних перерізів, що знаходяться на однаковій висоті, рівняння Бернуллі прийме вигляд:

. (5.3.8)

На основі вимірювання тисків в рухомій рідині базується метод вимірювання швидкостей рідини і газів. Наприклад, в горизонтальній трубці течії (рис.5.3.2) розташуємо манометричні трубки – трубки, висота підняття рідини в яких визначає тиск рідини всередині трубки течії.

По висоті підняття рідини в першій трубці визначаємо статичний тиск, який буде дорівнювати:

. (5.3.9)

Друга трубка, яка відкритим кінцем направлена проти потоку рідини по висоті підняття дає змогу визначити суму статичного та динамічного тисків:

. (5.3.10)

Тому, виміривши різницю висот , шукана швидкість рідини буде дорівнювати:

. (5.3.11)

Манометрична трубка, яка відкритим кінцем розташована до потоку рідини чи газу називається трубкою Піто, названа іменем її винахідника французького вченого А.Піто. Винайдена ще у 1732р, ця трубка у сучасному технічному виконанні широко використовується в авіаційний приладах вимірювання повітряного тиску набігаючого потоку повітря і одночасного визначення швидкості цього потоку. Наприклад, у багатьох реактивних винищувачах трубка Піто розташована на початку фюзеляжу, як це показано на рис.5.3.3.

5.3.3 Застосування наслідків з рівняння Бернуллі в техніці

Той факт, що збільшення швидкості струмини рідини чи газу приводить до зменшення статичного тиску, знаходить велике застосування у техніці. Наприклад, їдучи на автомобілі, ми навіть не задумуємось, як працює його двигун і що його неперервне забезпечення паливом здійснює порівняно невеликий пристрій – карбюратор. В карбюраторі (від французького carburation – змішування) відбувається змішування рідкого палива з повітрям і в результаті утворюється газоподібна паливна суміш.

На рис.5.3.4 наведено принципову схему карбюратора. Повітря, яке засмоктується поршнем двигуна у широкій частині карбюратора має певну швидкість . Це повітря, проходячи через вузьку частину труби карбюратора, збільшує швидкість до , що приводить до зменшення тиску у струмені повітря (наслідок з рівняння Бернуллі). У цю зону зменшеного тиску засмоктується паливо з так званої поплавкової камери, у якій постійно підтримується необхідний рівень рідкого палива. Вузька частина карбюратора, у якій відбувається змішування рідкого палива з повітрям називається дифузором. На виході карбюратора отримуємо бензинову повітряну суміш, яка забезпечує роботу двигунів внутрішнього згорання.

Зменшення тиску в рідині при збільшенні її швидкості, як наслідок рівняння Бернуллі, використовується у водоструменевих насосах, принцип дії яких легко зрозуміти з рис.5.3.5, струмина води подається навіть з водопровідної побутової мережі. Кінець трубки має звуження, де швидкість води різко зростає, внаслідок чого тиск у цьому місці стає меншим атмосферного. Такий самий тиск, менший за атмосферний, встановлюється в камері, яка охоплює трубку з рідиною. У результаті такого явища, повітря, яке поступає у цю камеру, захоплюється струминою води і через другу трубку виноситься в атмосферу. Такі насоси надзвичайно прості за конструкцією і можуть забезпечити відкачування газу чи повітря до тиску 10 мм.рт.ст.

Навіть в домашніх умовах ми можемо спостерігати ряд явищ, які пояснюються на основі рівняння Бернуллі.

а) Візьміть два листка паперу і продувайте між ними повітря. Ці листки будуть наближатись, а не розходитися. Причина проста. Продуваючи повітря, ми збільшуємо динамічний тиск, а статичний стає меншим зовнішнього тиску, тому листочки сходяться.

б) Коли працює порохотяг, що має вертикальну вихідну решітку повітря, у це вихідне повітря введіть дитячу легку надувну кульку, і вона не вийде з вихідного потоку. Знову ж таки, статичний тиск всередині потоку повітря менший атмосферного і зовнішній тиск „повертає” кульку в середину потоку.

в) З легкого паперу (формат А-4) склейте циліндр. Візьміть будь-яку дощечку і по ній, як по похилій площині, буде скочуватись цей циліндр. Ви побачите своєрідне явище: замість того, щоб після скочування циліндр рухався по параболі (пунктирна лінія 1), він буде рухатись по своєрідній кривій 2, ніби всупереч законам падіння (рис. 5.3.6). Таке своєрідне явище називається ефектом Магнуса (нім. фізик 1802-1870).

Тут теж спостерігаємо наслідок з рівняння Бернуллі. А саме: циліндр при обертанні приводить в обертовий рух шари повітря біля його поверхні. На рис.5.3.6 ці шари повітря, які обертаються разом з циліндром, виділено червоними лініями. Якщо циліндр рухається вниз зі швидкістю v, то з такою ж швидкістю набігає потік повітря. Праворуч від циліндра, як видно з рисунку, напрями швидкостей набігаючого потоку повітря та потоку, що обертається разом циліндром, мають протилежні напрями, а ліворуч – співпадають. Отже, ліворуч результуюча швидкість повітря буде більшою і, згідно рівняння Бернуллі, статичний тиск менший, а праворуч, де результуюча швидкість повітря менша, статичний тиск більший . Завдяки цій різниці тисків і виникає сила, яка зумовлює таку характерну траєкторію руху циліндра.

Особливе природне явище, де у глобальних масштабах мають місце наслідки з рівняння Бернуллі – це циклони – гігантські атмосферні вихри, які у діаметрі можуть досягати декількох тисяч кілометрів. У результаті обертання повітряних мас (збільшення їх швидкості), як випливає з рівняння Бернуллі, знижується статичний тиск. Тому, слухаючи прогноз погоди про наближення циклону, ми будемо чекати зменшення атмосферного тиску. На рис.5.3.7 наведено знімок з космосу атмосферного циклону з характерною центральною частиною, яка називається «оком циклона». Око тропічних циклонів характеризується дуже низьким тиском. Руйнівні тропічні циклони, у яких ураганні вітри досягають швидкості до 300 км ∕год отримують власні імена. Так, тайфун під іменем КАТРІНА у 2005 році в США наніс матеріальних збитків на 81 млрд.доларів.

Ще одне атмосферне явище, у якому велика швидкість повітряних мас приводить до значного зменшення статичного тиску і великої руйнівної дії – це смерч або торнадо. Швидкість вітру у смерчах може наближатись до швидкості звуку і тиск складає 0,4 атмосферного тиску. Смерч, як гігантський порохотяг, роль якого виконує вихор діаметром до 500 м, засмоктує у себе навіть автомобілі.

Вихор повітря, який починається з хмари і торкається поверхні землі інколи називають хоботом смерчу і такий хобот смерчу наведено на рис.5.3.8.

5.4 Внутрішнє тертя в рідинах і газах (в’язкість)

Розглядаючи сили в механіці в розділі 2.4, було вказано на наявність зовнішнього тертя, яке ще називають сухим, при відносному русі поверхонь двох тіл. В рідинах і газах має місце явище внутрішнього тертя. А саме: при взаємному переміщенні шарів реальних рідин і газів один відносно одного виникає сила, яка перешкоджає цьому переміщенню. Ця сила називається силою внутрішнього тертя або в’язкістю.

В розділі „Молекулярна фізика” буде розглянуто механізм в’язкості в газах. Не розглядаючи механізму внутрішнього тертя, це явище можна описати відповідними законами, основний з яких – це закон Ньютона для внутрішнього тертя. Розглянемо найпростіший випадок плоско-паралельної течії рідини або газу (рис.5.4.1), у якій шари рідини чи газу рухаються паралельними шарами, де їх швидкість, залежна від відстані, (координати ) змінюється за лінійним законом. Цю зміну на даному рисунку показано епюром швидкостей (від французького епюр – плоске креслення), де швидкість від першого (нижнього) шару до другого (верхнього) лінійно збільшується від до . При такому відносному русі шарів рідини чи газу на кожен з них діє дотична сила – сила внутрішнього тертя. Так, верхній «швидкий» шар гальмується силою і така ж за модулем сила прискорює і нижній, «повільний» шар. Ця сила залежить від площі шарів, відстані між ними та різниці швидкостей шарів та від природи рідини чим газу і встановлюється наступним законом, який називається законом Ньютона для внутрішнього тертя:

, (5.4.1)

де відношення називається градієнтом швидкості, тобто фізична величина, яка вказує бистроту зміни швидкості від шару до шару в перпендикулярному напрямі. Градієнт від грецького gradiore – крокую, у даному випадку дуже влучна назва. Уявіть, ми заходимо у річку перпендикулярно до її течії, роблячи кроки шириною і визначаємо різницю швидкостей течії на кінцях нашого кроку. Ввівши поняття градієнта швидкості, математичний запис закону Ньютона для внутрішнього тертя можна прочитати наступним чином:

модуль сили внутрішнього тертя, яка виникає при взаємному переміщенні шарів рідини або газу пропорційна модулю їх градієнта швидкості і площі шарів.

Коефіцієнт η пропорційності називається коефіцієнтом внутрішнього тертя або коефіцієнтом динамічної в’язкості.

Коефіцієнт динамічної в’язкості рідини чи газу чисельно дорівнює силі внутрішнього тертя, що діє на одиницю площі шарів рідини або газу при їх плоско-паралельній течії з градієнтом швидкості, рівним одиниці. В системі СІ одиницею вимірювання цього коефіцієнта є .

Відношення динамічної в’язкості рідини чи газу до їх густин називається кінематичною в’язкістю

. (5.4.2)

Рис.5.4.1 та формула 5.4.1 стосуються плоско-паралельної течії, де градієнт швидкості в усіх ділянках течії однаковий. Якщо ж градієнт швидкості у різних частинах течі її неоднаковий, то у законі Ньютона для внутрішнього тертя градієнт швидкості визначається відношенням елементарної зміни швидкості на елементарній відстані між шарами рідини чи газу:

. (5.4.3)

Напрям вектора сили внутрішнього тертя можна визначити за знаком проекції цієї сили на вибраний напрям. Наприклад, «верхній» шар 2 рідини чи газу знаходиться на відстані від «нижнього» шару