Векторное произведение

Лекция 8.

Определение. Если векторы и , лежащие в ориентированном пространстве, неколлинеарны, то векторным произведением вектора на вектор называется вектор, определяемый следующими условиями.

1) Модуль векторного произведения равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними:

. .

2) Векторное произведение перпендикулярно и вектору и вектору :

3) Упорядоченная тройка векторов

, ,

имеет положительную ориентацию.

Если векторы и коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю по определению: если , то .

Замечание. Если ориентировать пространство правой тройкой, то направление векторного произведения (в случае, если и неколлинеарны) определяется по следующему правилу: если большой палец правой руки направить по вектору , указательный по вектору , а средний расположить перпендикулярно большому и указательному, то средний палец укажет на направление вектора .

Или если смотреть на плоскость векторов и , отложенных от одной точки со стороны стрелки векторного произведения , отложенного от той же точки, то кратчайший поворот от вектора к вектору кажется происходящим против часовой стрелки (см. рис).

Если пространство ориентировано левой тройкой, то направление векторного произведения определяется аналогично по правилу трех пальцев левой руки.

Пусть векторы и неколлинеарны. Отложим их от одной и той же точки О:

; .

На основании данного определения векторного произведения модуль векторного произведения равен площади параллелограмма со сторонами и ; иногда говорят так: модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах, отложенных от одно точки.

Дата добавления: 2014-01-07; Просмотров: 323; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!