Интегрирующий множитель

В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удаётся подобрать функцию , после умножения на которую, левая часть (1) превращается в полный дифференциал .

Такая функция называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя или

(2)

Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.

1. Если , то и уравнение (2) примет вид

(3)

Для существования интегрирующего множителя, не зависящего от y, необходимо и достаточно, чтобы правая часть (3) была функцией только от x.

Пример 8.1. Решить уравнения

Решение. , , имеем , следовательно , ,

Уравнение в полных дифференциалах

Его можно представить в виде , откуда и общий интеграл данного уравнения

2. Аналогично, если есть функция только y, то уравнение (1) имеет интегрирующий множитель , зависящий только от y.

Интеграл уравнения (1)

Пример 8.1. Решить уравнение

Решение. Положим , тогда

т.к. , интеграл последнее соотношение, получим уравнение цепной линии

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

,

, ,

Замечание. Аналогично можно проинтегрировать уравнение

2. Уравнение вида

(2)

не содержит явным образом независимой переменной x.

Для его решения снова положим

(3)

но теперь будем считать p функцией от y (а не от x, как прежде). Тогда

Подставляя выражение и в уравнение (2), получим уравнение 1-ого порядка

Интегрируя его, найдём p, как функцию y и производной постоянной :

Подставляя это значение в соотношение (3), получим

Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения

Пример 8.2. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Пусть , тогда

Возвратимся к переменной y:

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 717; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!