Операции над векторами

Пусть векторы и принадлежат -мерному векторному пространству и .

1. Суммой векторов и называется вектор , координаты которого равны суммам соответствующих координат этих векторов:

.

2. Пусть - любое действительное число. Произведением вектора на число будем называть вектор, координаты которого получаются умножением соответствующих координат вектора на это число: .

Из введенных таким образом операций над векторами вытекают следующие свойства этих операций. Пусть , и - произвольные векторы -мерного векторного пространства, тогда:

1. - переместительное свойство.

2. - сочетательное свойство.

3. , где λ – действительное число.

4. , где λ и μ – действительные числа.

5. , где λ и μ – действительные числа.

6. .

7. Для любого вектора существует такой вектор , что , .

8. для любого вектора .

Определенное -мерное векторное пространство является линейным, поскольку для него выполняются свойства линейности:

1. Для любых двух векторов и из их сумма также принадлежит .

2. Для любого числа λ и вектора вектор .

Определение. Пусть U – подмножество линейного пространства . Оно называется линейным подпространством , если для любых векторов и из U и любого числа l выполнены свойства линейности 1 и 2 и и принадлежат подмножеству U.

Например, совокупность всех векторов , таких, что сумма их координат равна нулю , образует линейное подпространство .

Дата добавления: 2014-01-05; Просмотров: 256; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!