Случай общего уравнения прямых линий

Пусть прямыеи заданы уравнениями:

Тогда (см. чертеж 30.3) угол между прямыми и можно определить как угол между их нормалями и , и из §24 имеем:

(30.12)

Координаты точки пересечения прямых и можно найти, решая систему из двух линейных уравнений (30.10) и (30.11). По формулам Крамера (см. §8) имеем:

y=

Для взаимного расположения прямых и рассмотрим матрицы:

и

(R - является матрицей системы линейных уравнений (30.10) и (30.11), а Q – её расширенной матрицей третий столбец которой, взят с противоположным знаком).

По теореме Кронекер-Капелли и критерию определенности системы (см. §13) имеем:

1. = и имеют бесконечно много точек пересечения, следовательно, система линейных уравнений (30.10) и (30.11) не определена (30.14).

2. || и не имеют общих точек, следовательно, система линейных уравнений (30.10) и (30.11) не совместна (30.15) (ввиду условия (29.6) , а - ранг матрицы R).

3. и пересекаются в одной точке, следовательно, система линейных уравнений (30.10) и (30.11) определена (30.16) и координаты их точки пересечения можно найти по формуле (30.13).

Условие перпендикулярности прямых и :

= (30.14)

(– нормаль к прямой, а – нормаль к прямой (см. чертёж 30.3))

§31. Уравнение прямой на плоскости по двум точкам и «в отрезках»

31.1 Уравнение прямой проходящей через точку и коллинеарной заданному вектору

Данная прямая уже была получена в §29. Её уравнение имеет вид, или (см. уравнение (29.4))

Второе равенство (29.4), в отличие от первого, допускает возможность или .

31.2 Уравнение прямой проходящей через заданную точку и ортогональной заданному вектору

Эта прямая также была получена в §29, и её уравнение имеет вид:

(см. уравнение (29.8)).

31.3 Уравнение прямой проходящей через две заданные точки и

Это уравнение имеет вид:

(31.1)

В случае в (31.1) у можно выразить через x:

(31.2)

А для и уравнение (31.1) можно записать следующим образом:

Читателю предполагаем самостоятельно получить уравнения (31.2) и (31.3) из (31.1), а также непосредственно проверить, что координаты точек и удовлетворяют

линейному уравнению (31.1), и поэтому прямая линия, задаётся уравнением (31.1), искомая (и единственная как прямая, проходящая через две заданные точки).

31.4 Уравнение прямой «в отрезках»

		x

В §29 было показано, что всякую прямую, не параллельную ни одной из координатных осей и не проходящую через начало координат, можно записать уравнением

(29.9)

Подставив в уравнение (29.9) x=0, получим y=b, а из y=0 имеем x=a, то есть точки с координатами (a,0) и (0,b) находятся на прямой l (см. чертеж 31.1).Тогда и являются длинами отрезков, отсекаемых прямой l от координатного угла (числа a и b могут быть и отрицательными, из-за чего длины отрезков -и ).

Определение 31.1: Поэтому уравнение (29.9) называется уравнением прямой «в отрезках».