Контурныя раўнаннi

Вузлавыя раўнанні

Вузлавыя раўнанні звязваюць невядомыя вузлавыя напружанні з зададзенымі параметрамі схемы і зададзенымі параметрамі рэжыму схемы. Сістэма вузлавых раўнанняў у матрычнай форме мае выгляд [1,2]:

Y_вU_в=J-MY_вЕ.

Калі ўсе крыніцы электрычнай схемы прадставіць ў выглядзе крыніц тока (матрыца ЭРС галін схемы Е=0), то сістэма раўнанняў для вузлавых напружаняў спрашчаецца:

Y_вU_в=J (3),

дзе Y_в - матрыца вузлавых праводнасцей схемы памерам (n-1)´(n-1) (n-колькасць вузлоў схемы); элемент y_ii матрыцы Y_в, які знаходзіцца ў і-ым радку на галоўнай дыяганалі, роўны суме праводнасцей галін, падключаных да і-ага вузла схемы (уласная праводнасць і-ага вузла); элемент y_ij на перакрыжаванні і-тага радка і j-ага слупка матрыцы Y_в роўны ўзятай са знакам мінус праводнасці галіны, уключанай паміж i-ым і j-ым вузламі схемы (узаемная праводнасць паміж i-ым і j-ым вузламі);

Токі ў галінах схемы ў мадэлі (3) на аснове вызлавых раўнанняў пры вядомых вузлавых напружаннях U_В можна разлічыць па наступных формулах, улічваючы, што вузлавое напружанне u_В0 нулявога вузла прынята роўным нулю:

(7)

Контурныя раўнаннi ў матрычнай форме маюць выгляд [1,2]:

.

Для схемы, у якой усе крынiцы электрычнай энергii прадстаўлены крынiцамi ЭРС (матрыца токаў крыніц тока J =0), гэтыя раўнанні спрашчаюцца:

Z_кI_к=Е_к (5)

дзе: Z_к - матрыца контурных супраціўленняў:

,

якая мае парадак к (колькасць лінейна незалежных контураў схемы). Дыяганальны элемент z_ii гэтай матрыцы роўны суме супраціўленняў галін, якія ўваходзяць у i-ты контур. Недыяганальны элемент z_ij роўны суме супраціўленняў галін, якія ўваходзяць адначасова ў i-ты і ў j-ты контуры, прычым сума мае знак плюс, калі накірункі і-тага і j-тага контураў у гэтых галінах супадаюць, і знак мінус,. калі не супадаюць.

Токі ў мадэлі (5) на аснове контурных раўнанняў ў галінах 5, 6, 7, 8, 9, якія з’яўляюцца хордамі, ёсць контурныя токі і_к1, і_к2, і_к3, і_к4, і_к5:

і₅=і_к1; і₆=і_к2; і₇=і_к3; і₈=і_к4; і₉=і_к5. (8а)

Токі ў галінах 1, 2, 3, 4, якія ўваходзяць ў дрэва, можна разлічыць па формулах:

і₁=-і_к2-і_к3-і_к5; і₂=і_к1-i_к2-і_к4-і_к5;

і₃=-і_к1-і_к3+і_к4; і₄=-і_к4-і_к5.

4.пабудаванне 2ой матрыцы злучэнняу па першай.

5. Рашыць метадам Гаўса СЛАУ:

Выключаем невядомую x₁ з другога, трэцяга i чацвёртага раўнанняў. Для гэтага дзелiм першае раўнанне на каэфiцыент а₁₁=2. Затым памнажаем гэтае раўнанне адпаведна на а₂₁=1,2; а₃₁=1,8; а₄₁=0,8 i адымаем яго паслядоўна ад другога, трэцяга i чацвертага раўнанняў:

,

або пасля выканання арыфметычных аперацый:

(11)

Цяпер прыменiм апiсаны вышэй алгарытм для выключэння невядомай пераменнай х₂ з трэцяга i чацвёртага раўнанняў сiстэмы (11), пасля чаго яна прыме выгляд:

,

або:

. (12)

Выключым невядомую велiчыню х₃ з чацвёртага раўнання сiстэмы (12):

,

або:

З апошняга раўнання можна вызначыць х₄=9,0777/2,2694=4,0. На гэтым прамы ход метада Гаўса закончаны. Квадратная матрыца каэфiцыентаў пераўтварана ў верхнюю трохвугольную. Сiстэма мае выгляд:

.

Цяпер можна выканаць зваротны ход метада Гаўса i вызначыць невядомыя велiчынi:

Такiм чынам, маем рашэнне ў выглядзе:

6. Рашыць СЛАУ па схеме Жардана:

(13)

Выключаем невядомую велiчыню х₁ з другога i трэцяга раўнанняў сiстэмы (13). Дзелiм першае раўнанне на каэфiцыент а₁₁=2. Памнажаем гэтае раўнанне на а₂₁=1,2 i адымаем яго ад другога раўнання, а таксама памнажаем яго на а₃₁=1,4 i адымаем ад трэцяга раўнання:

,

або:

Невядомая пераменная х₁ з другога i трэцяга раўнання выключана. Да гэтага моменту адрозненняў ад метаду Гаўса няма. Выключым цяпер невядомую х₂ з першага i трэцяга раўнанняў. Для гэтага раздзелiм другое раўнанне на каэфiцыент . Памножым гэтае раўнанне на каэфiцыент i адымем яго ад першага раўнання. Памножым яго таксама на каэфiцыент i адымем ад трэцяга раўнання:

,

або:

Аналагiчна выключаем пераменую х₃ з першага i другога раўнанняў:

, або:

што з¢яўляецца рашэннем сiстэмы (1).

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 84; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!