Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 1

[1], с. 115 – 117, пример 4.12.

[5], с. 15 §2, с. 18 – 23 №78 – 98, §3 с.25 – 26 №128.

[7], с. 22 пример 1, с. 24 пример 1, с. 34 – 35 пример 1, с. 36 – 37 пример 1,

с. 39 – 40 пример 1, 2.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Даны вершины треугольника АВС: А(–4; 8), В(5; –4), С(10;6). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС, и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол А с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр; 6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

Решение. 1. Расстояние между точками и определяется по формуле:

Подставив в эту формулу координаты точек А и В, имеем:

2. Уравнение прямой, проходящей через точки и , имеет вид:

Подставив в (2) координаты точек А и В, получим уравнение прямой (АВ):

, записанное в общем виде. Для нахождения углового коэффициента прямой (АВ), разрешим полученное уравнение относительно : Тогда угловой коэффициент Аналогично, подставив в формулу (2) координаты точек А и С, найдем уравнение прямой (АС).

Для нахождения углового коэффициента прямой (АС), разрешим полученное уравнение относительно : Тогда

3. Угол между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны определяются по формуле:

Угол А, образованный прямыми (АВ) и (АС), найдем по формуле (3), подставив в нее

4. Так как высота (CD) перпендикулярна стороне (АВ), то угловые коэффициенты этих прямых обратные по величине и противоположные по знаку, т.е.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку с заданным угловым коэффициентом , имеет вид:

Подставим в (4) координаты точки С и получим уравнение высоты (CD):

Для нахождения длины высоты (CD) воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой ():

Определим расстояние от точки С(10;6) до прямой (АВ):

5. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке имеет вид:

Так как высота (CD) является диаметром искомой окружности, то ее центр есть середина отрезка CD. Предварительно определим координаты точки D, как точки пересечения прямых (АВ) и (CD). Решим систему уравнений: ; откуда

Далее, используя формулы деления отрезка пополам, получим:

Следовательно, и Используя формулу (6), получим уравнение искомой окружности:

6. Множество точек треугольника АВС есть пересечение трех полуплоскостей, первая из которых ограничена прямой (АВ) и содержит точку С; вторая – ограничена прямой (ВС) и содержит точку А, третья полуплоскость ограничена прямой (АС) и содержит точку В.

Для получения неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой АВ и содержащую точку С, подставим в уравнение прямой (АВ) координаты точки С:

Поэтому искомое неравенство примет вид:

Для составления неравенства, определяющего полуплоскость, ограниченную прямой (ВС) и содержащую точку А, прежде всего составим уравнение прямой (ВС), подставив в формулу (2) координаты точек В и С:

Подставив в полученное уравнение прямой (ВС) координаты точки А, имеем: Тогда искомое неравенство будет иметь вид:

Аналогично составим неравенство, определяющее полуплоскость, ограниченную прямой АС и содержащую точку В:

Третье искомое неравенство

Итак, множество точек треугольника АВС определяется системой неравенств:

На рис.1 в прямоугольной системе координат xOy изображен треугольник АВС, высота СD, окружность с центром в точке Е.

Рис. 1.

Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение прямоугольной декартовой системы координат.

2. Напишите формулу для нахождения расстояния между двумя точками.

3. Напишите формулы для определения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении; координаты середины отрезка.

4. Напишите уравнения прямой: а) с угловым коэффициентом; б) проходящей через данную точку в данном направлении; в) проходящей через две данные точки; г) в «отрезках» на осях.

5. Как определить координаты точки пересечения двух прямых?

6. Напишите формулу для определения угла между двумя прямыми.

7. Напишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

8. Напишите формулу расстояния от точки до прямой.

9. Сформулируйте определение окружности.

10. Напишите уравнение окружности с центром в любой точке плоскости ; с центром в начале координат.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 83; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!