Тема 7. Функции нескольких переменных.

[1] c. 405 пример 15.7 (а, б), с. 406 пример 15.8, с. 413 – 414 пример 15.9,

с. 414 пример 15.10, с. 428 § 15.11.

[2], с. 393 – 394, № 15.27, 15.28, с. 397 – 398 № 15.56 – 15.58, с. 409 – 411

№ 15.107 – 15.109.

[5], с. 193 – 194 № 1192 – 1196, с. 205 № 1305, 1306.

Пусть имеется две переменные величины, и каждому набору их значений из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция двух переменных

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, z – зависимой переменной, а символ означает закон соответствия. Множество X называется областью определения функции.

Зададим переменной приращение , оставляя переменную неизменной. Тогда разность называется частным приращением функции по переменной .

Зададим переменной приращение оставляя переменную неизменной. Тогда разность называется частным приращением функции по переменной

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю:

Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения по к приращению при стремлении к нулю:

Замечание. Если от функции берется производная , то переменная считается константой. Если же от функции берется производная то переменная считается константой.

Для вычисления частных производных применяются те же правила и таблица, что и для функции одной переменной.

Определение. Точка называется точкой максимума функции , если для любых достаточно малых по абсолютной величине выполняется неравенство

По смыслу определения функция должна иметь смысл на некотором множестве точек этой окрестности.

Определение. Точка называется точкой минимума функции , если для любых достаточно малых по абсолютной величине выполняется неравенство

Теорема (необходимое условие экстремума). Если функция достигает экстремума в точке , то каждая частная производная первого порядка от функции обращается в ноль в этой точке или не существует.

Определение. Точки, в которых (или не существует) и (или не существует), называются критическими точками функции

Обозначим через А, В, С значения вторых частных производных в точке :

А = , В = , С = .

Достаточное условие экстремума сформулируем следующим образом.

Пусть в некоторой области, содержащей точку функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть точка является критической точкой функции , т.е.

, . Тогда при :

1) имеет максимум, если

2) имеет минимум, если

3) не имеет ни максимума, ни минимума, если

4) если , то экстремум может быть и может не быть, т.е. вопрос об экстремуме в этом случае остается открытым.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 8. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Найдем критические точки, пользуясь необходимыми условиями экстремума:

Решая систему, получаем критическую точку (4;-2).

2) Найдем производные второго порядка в критической точке и определяем характер критической точки:

Получаем, Так как ,то в точке (4;-2) функция имеет максимум:

Задача 9. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Определим критические точки, пользуясь необходимыми условиями экстремума:

Решив систему, получаем две критические точки M(1;1) и N(0;0).

1) Вычислим производные второго порядка:

2) Исследуем характер первой критической точки M(1;1):

Следовательно, в точке (1;1) данная функция имеет минимум. Вычислим значение функции в этой точке:

3) Исследуем характер второй критической точки N(0;0):

Следовательно, в точке (0;0) функция не имеет экстремума.

Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (соответственно абсолютным минимумом или абсолютным максимумом) в этой области.

Теорема. Абсолютный экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Чтобы выявить абсолютный экстремум функции в замкнутой области, необходимо:

1) определить критические точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки не следует;

2) определить наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; если граница состоит из нескольких линий, то исследование проводится для каждого участка в отдельности;

3) сравнить полученные значения функции и установить наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области.

Задача 10. Исследовать на абсолютный экстремум функцию

в замкнутом треугольнике, ограниченном прямыми и .

Решение. 1. Определим критические точки, лежащие внутри заданной области – треугольник, заданный неравенствами . Для этого найдем частные производные первого порядка:

Приравняв частные производные к нулю, получаем следующую систему: решив которую, определяем критическую точку М(1;2). Точка М лежит в заданной области. Вычислим значение функции в этой точке:

2. Определим значения функции на границе области.

а) На отрезке ОА , а Если , то Вычислим производную от полученной функции, после чего найдем ее критические точки: Получили критическую точку N(1;0). Находим значения функции в критической точке и на концах отрезка [0;4]:

б) На отрезке ОВ и Если , то Вычислим производную от полученной функции, после чего найдем ее критическую точку: Получили критическую точку L(0;2). Находим значения функции в критической точке и на концах отрезка [0;4]:

в) Теперь исследуем функцию на границе АВ. Уравнение прямой АВ имеет вид . Подставив это выражение для в заданную функцию получим Вычислим производную от полученной функции, после чего найдем ее критическую точку: Получили критическую точку К( Вычислим значение функции в точке К: Значения функции на концах отрезка АВ ранее определены.

3. Сравнивая полученные значения функции в точках М, N, L, K, O, А, В, заключаем, что наибольшее значение в заданной замкнутой области функция имеет в точке А(4;0), а наименьшее значение имеет в точке М(1;2). Итак,