Приклади задач лінійного програмування

Задача про використання сировини (планування виробництва)

Нехай на виготовлення продукції видів використовують сировину видів . Відомо, скільки одиниць кожного виду сировини використовується для виготовлення одиниці кожного виду товару та запас кожної сировини, а також прибуток від реалізації одиниці кожного виду товару. З економічної точки зору задача полягає в наступному: треба організувати виробництво товарів – скласти план, так, щоб при використанні даної сировини прибуток від реалізації був найбільшим.

За звичай, постановку таких задач оформляють у вигляді таблиць (дивись таблицю 2.1). Тут – кількість одиниць сировини , що йде на виготовлення одиниці товару ; – прибуток від реалізації одиниці товару .

Нехай – кількість одиниць -го товару, який планується до виробництва, тоді, очевидно, що повинні виконуватись умови

(2.4)

і прибуток підприємства має вигляд

. (2.5)

Зміст нерівностей (2.4) полягає в тому, що при закінченні виробництва деякі з видів сировини будуть використані неповністю.

Отже, математична модель даної задачі формулюється наступним чином: серед розв’язків системи лінійних нерівностей (2.4) потрібно знайти такий, при якому форма (2.5) приймає найбільше значення.

В таблиці 2.2 наведено конкретний приклад задачі про використання сировини для двох видів товару та чотирьох видів сировини.

Її математична модель має наступний вигляд:

(2.6)

. (2.7)

Задача про використання потужностей обладнання

Нехай підприємству задано план по часу і по номенклатурі: необхідно за час випустити одиниць продукції виду .

Кожен з видів товару може вироблятися машинами з різними потужностями, які задано таблицею 2.3. Тут кількість одиниць товару виду , що виробляє машина за одиницю часу. В таблиці 2.4 задано витрати – ціну одиниці робочого часу машини при виготовленні продукції кожного виду.

Потрібно скласти оптимальний план роботи машин (найбільш раціональний), а саме, знайти скільки часу кожна з машин повинна займатися виготовленням кожного з видів продукції , щоб вартість всієї продукції була найменшою і в той же час виконувався план по часу і по номенклатурі.

Введемо невідомі – час роботи машини при виготовлені товару виду (таблиця 2.5). Вони повинні задовольняти наступним умовам:

Нерівності (2.8) вказують на те, що деякі з машин будуть працювати не повний час (можливе перевиконання плану).

(2.8)

Якщо вимагати, щоб машини працювали весь час , то система (2.8) прийме вигляд:

(2.9)

Загальні витрати на виготовлення продукції мають вигляд:

. (2.10)

Таким чином математична модель даної задачі формулюється наступним чином: серед розв’язків системи лінійних рівнянь і нерівностей (2.8) або (2.9) знайти такий, при якому функція (2.10) приймає найменше значення.

Задача складання раціону

Для збереження здоров’я людина повинна споживати за добу певну кількість білків, жирів, вуглеводів, води і вітамінів. Їх запаси в різних видах їжі різні. Складемо таблицю 2.6, де , – вид поживної речовини, , – мінімальна добова норма споживання поживної речовини ; – вартість одиниці їжі виду .

Потрібно скласти добовий раціон, щоб задовольнити всі потреби організму в поживних речовинах при мінімальній вартості раціону.

Нехай , кількість їжі виду , яку споживає людина. Тоді математична модель задачі про складання раціону має наступний вигляд: серед усіх розв’язків системи лінійних нерівностей (2.11)

(2.11)

знайти такий, при якому функція

(2.12)

приймає найменше значення.

Задача про використання обладнання

Виробництву задано план по номенклатурі: потрібно виготовити , одиниць продукції виду . Кожний вид продукції виробляється певною кількістю машин , продуктивність яких (час затрачений на виготовлення одиниці товару певного виду) , задана таблицею 2.3. Потрібно скласти план, тобто знайти , – кількість продукції , яку потрібно виготовити на машині (дивись таблицю 2.5), щоб виконати план по номенклатурі за мінімальний час.

Математична модель задачі про використання обладнання: серед розв’язків системи лінійних рівнянь

(2.13)

знайти такий, при якому функція

(2.14)

приймає найменше значення, де

(1.15)

Транспортна задача

На станціях відправки , міститься однотипний товар, який потрібно перевезти в пункти споживання . Відомо, що об’єм товару, який міститься на кожній станції, рівний , відповідно, а потреба кожного споживача рівна . Задано , – вартість перевезення одиниці вантажу товару від постачальника (відправника) , до споживача , (дивись таблицю 2.7).

Потрібно скласти такий план перевезень (весь товар вивезений і всі пункти споживання задоволені), при якому загальна вартість перевезень буде мінімальною.

Позначимо через , кількість одиниць товару, які перевезені з в (дивись таблицю 2.8).

Тоді математична, модель транспортної задачі має вигляд:

(2.16)

Серед розв’язків системи лінійних рівнянь (2.16) знайти такий, при якому лінійна форма

. (2.17)

приймає найменше значення.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 113; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!