Розділ ІХ. Системи рухомого супутникового зв’язку

Після виходу з множини незворотних станів МЛ опиняється у одній з замкнених незвідних зворотних множин станів C ₁, C ₂,… (теорема 3.20). Подальший вихід з будь-якої з зазначених множин неможливий. Тому теоретичні відомості, що наводяться далі, стосуються лише МЛ з незвідною множиною зворотних станів. Спочатку зупинимося на важливому класі таких МЛ, який зараз і визначимо.

5.1. Означення. Незвідний МЛ, всі стани якого є додатними і неперіодичними (означення 3.15, 3.4), називається ергодичним.

Наступна теорема характеризує поведінку ергодичного МЛ, коли час його функціонування необмежено збільшується.

5.2. Теорема.

I) В ергодичному ланцюгу Маркова існують незалежні від початкового стану і даного ланцюга границі p_j = p_ij ^{( n )}, j Î X. (5.1)

Крім того, p_j > 0, j Î X (5.2)

і = 1. (5.3)

Вказані величини p_j задовольняють наступній системі рівнянь

p_j = , j Î X. (5.4)

II) Навпаки, нехай ланцюг є незвідним і неперіодичним і нехай існують числа p_j ³ 0, j Î X, які задовольняють (5.3) і (5.4). Тоді ланцюг є ергодичним, для p_j виконуються співвідношення (5.1) і p_j = 1/ m _j, (5.5)

де m _j — середній час повернення у стан j (визначений рівністю (3.11)).

Розподіли ймовірностей, що задовольняють рівності (5.4), мають спеціальну назву.

5.3. Означення. Нехай X — фазовий простір деякого МЛ (не обов’язково ергодичного), { p_іj, і Î X, j Î X } — сукупність його перехідних ймовірностей.

Розподіл ймовірностей p = { p_j, j Î X }, що задовольняє рівності (5.4), (і, звичайно, (5.3), оскільки мова йде про розподіл ймовірностей), називається стаціонарним або інваріантним розподілом даного МЛ. Самі рівняння (5.4) носять назву рівнянь або системи рівнянь стаціонарного режиму МЛ.

Назва «стаціонарність» частково пояснюється тією обставиною, що коли у деякий момент часу розподіл станів МЛ задовольняє рівнянню (5.4), то у всі наступні моменти часу зазначений розподіл вже не змінюється.

5.4. Зауваження. Іноді рівняння (5.4) зручно записувати у дещо інших формах. Наприклад, нехай стани X занумеровані як 1,2,…, j,…; тоді якщо ввести вектор p =(p ₁, p₂, …, p_j, …), то вказані рівняння запишуться у вигляді одного векторно-матричного рівняння p = p P,(5.6)

де P — матриця переходу МЛ. Якщо ж виділити в правій частині (5.4) доданок p_j p_jj і перенести його у ліву частину, то, з урахуванням (5.3), після простих перетворень вказана ліва частина перепишеться у вигляді p_j , так що одержимо рівності

p_j = , j Î X (5.7)

Іноді вираз p_i p_ij називають течією ймовірності з і в j. За прийняттям такої термінології рівність (5.7) можна розглядати як рівність сум течій ймовірностей, що входять в стан j і що виходять з нього, j Î X.

5.5. Зауваження. У загальному випадку будь-яке з рівнянь системи (5.4) є наслідком інших рівнянь цієї системи. Тому систему (5.3) (5.4) можна розв’язувати, відкинувши одне (будь-яке) з рівнянь (5.4).

5.6. Зауваження. Для незвідного неперіодичного ланцюга друга частина теореми 5.2 гарантує єдиність розв’язку системи рівнянь (5.3), (5.4) у випадку його існування. (Якщо одразу відомо, що ланцюг є ергодичним, то гарантується і існування розв’язку). Для звідного МЛ єдиність розв’язку системи (5.3), (5.4) може і не мати місця.

Наступний висновок з теореми 5.2 іноді буває корисним.

5.7. Висновок. Незвідний неперіодичний ланцюг Маркова має інваріантний розподіл ймовірностей p = { p_j } тоді і тільки тоді, коли він є ергодичним. В цьому випадку p_j > 0 і ймовірності станів p_j ^{( n )} прямують до p_j для всіх j Î X при n ® ¥ незалежно від початкового розподілу даного МЛ.

Наступне твердження є справедливим незалежно від того, є даний МЛ незвідним неперіодичним чи ні.

5.8. Теорема. Якщо МЛ має інваріантний розподіл ймовірностей p = { p_j }, то p_j дорівнює 0 для кожного стану j, що є незворотним або нульовим станом.

Іншими словами, якщо p_j > 0, то стан j є зворотним і має скінченний середній час повернення (при цьому він може виявитися і періодичним). Зокрема, оскільки в ланцюгах із скінченною кількістю станів не буває нульових станів, то у таких випадках з рівності 0 величини p_j випливає, що стан j є незворотним.

5.9. Зауваження. Твердження попередньої теореми є змістовним по відношенню до МЛ, які є або звідними, або періодичними, оскільки для незвідних неперіодичних ланцюгів обов’язково буде p_j > 0 " j Î X. (Відмітимо, що мова йде про розподіли ймовірностей, а не просто про розв’язки системи рівнянь (5.4)).

5.10. Означення. Розподіл ймовірностей p = { p_j, j Î X }, що задовольняє співвідношенню

p_j ^{( n )}® p_j при n ® ¥, (5.8)

для всіх j Î X зветься граничним або фінальним розподілом МЛ. Якщо граничний розподіл не залежить від початкового розподілу p ⁰ МЛ, то він носить назву ергодичного розподілу.

5.11. Зауваження. При дослідженнях реальних систем досить часто важливим стає знання саме граничного (фінального) розподілу станів МЛ, оскільки такий розподіл МЛ служить апроксимацією дійсного розподілу ймовірностей станів при достатньо великих значеннях часу його функціонування. Тому мають суттєве значення результати, що, з одного боку, встановлюють існування граничного розподілу, а з іншого — вказують способи його ефективного знаходження. З останнього приводу відзначимо, що між інваріантними і фінальними розподілами МЛ існує тісний зв’язок. Зокрема, у багатьох випадках стаціонарний розподіл МЛ { p_j } є одночасно і його граничним розподілом (тобто таким розподілом p = { p_j, j Î X }, для якого виконується рівності (5.8)). Ілюстрацією цього положення для ергодичних МЛ є наступне твердження.

5.12. Теорема. Нехай p ^{( n )} = (p_j ^{( n )}, j Î X), n = 0,1,2,… — розподіл ергодичного МЛ в момент часу n (тобто сукупність ймовірностей знаходження системи в станах j Î X в момент часу n). Тоді існує ергодичний розподіл p = { p_j, j Î X } (означення 5.10), в якому p_j, j Î X — ймовірності з (5.1) — (5.4).

Наведена нижче теорема також стосується питань зауваження 5.11, але відповідає на них дещо з іншої, порівняно з теоремою 5.12, точки зору, причому вона дає і оцінку різниць між ймовірностями станів на кожному кроці і граничними ймовірностями.

5.13. Теорема (С.Н. Бернштейн). Нехай існує стан і ₀ марківського ланцюга, ціле число m ³1 і дійсне число e > 0, такі, що " і Î X виконується нерівність ³ e > 0. Тоді даний МЛ має єдиний інваріантний розподіл { p_j }, який водночас є і ергодичним розподілом, причому мають місце нерівності

| p_j ^{( n )} – p_j | £ (1 – e) ^{n / m – 1}, j Î X.

5.14. Зауваження. У випадку скінченного МЛ для можливості застосування теореми 5.13 досить переконатися, що матриця P має хоч один стовпець, що складається з додатних чисел (додатний стовпець). Якщо таких стовпців немає, то, можливо, він є в одній з матриць P ², P ³,… — це також дає можливість застосувати зазначену теорему.

Наведені вище результати, в основному, стосувалися неперіодичних МЛ. З цього приводу відзначимо, що при дослідженні періодичного ланцюга часто використовується підхід, що зводить питання до вивчення неперіодичного ланцюга шляхом належної зміни кроку дискретності часу. Цей підхід базується на наступному факті.

5.15. Теорема. В незвідному МЛ з періодом d і перехідною матрицею P множина станів X може бути розбитою на d неперетинних множин G ₁, G ₂,…, G_d, для яких переходи за один крок завжди ведуть з G_a в G_{a +1, a} = 1,2,…, d (вважається G_{d +1} = G ₁). При цьому в МЛ з перехідною матрицею P ^d кожна множина G_а утворює незвідний неперіодичний клас станів.

Наведену теорему можна використати для знаходження поведінки ймовірностей переходу p_іj ^{( n )} при n ® ¥, спираючись на одержані вище результати. А саме, з попереднього відомо, що коли j є незворотним або нульовим станом, то p_іj ^{( n )} ® 0 при n ® ¥ " і Î X. Отже треба з’ясувати питання лише у випадку (зворотного) додатного стану. Нехай середній час повернення у стан j Î X дорівнює m_j < + ¥. Неважко побачити, що в ланцюгу з матрицею P ^d середній час повернення в j буде дорівнювати m_j / d, і кожний такий ланцюг з фазовим простором G_a, a = 1,2,…, d, є ергодичним. Тому якщо і Î G_a, то має місце співвідношення (5.9).

При цьому величини d / m_j, j Î G_a, утворюють розподіл на множині станів G_a. Оскільки всього є d таких класів, то сукупність {1/ m_j, j Î X } утворює розподіл ймовірностей на множині всіх станів X. Можна показати, що цей розподіл є інваріантним розподілом вихідного марківського ланцюга.

ІІ. ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ