Вступ до фрактального аналізу

Уявлення про фрактали. Терміни "фрактал", "фрактальна безліч" і "фрактальні об'єкти" були уведені вперше Б. Мандельбротом у його оригінальній роботі, а потім увійшли в математичну і загальнонаукову термінологію. Основою походження терміна "фрактал" служать латинський прикметник fractus – дробовий, порізаний, зламаний і дієслово franker – ламати, що породили англійське fractal – з'єднання двох слів: fraction – дріб і fracture – злам, тобто, по суті, цей термін означає зламаний об'єкт із дробовою розмірністю.

Основною характеристикою фрактала служить хаусдорфова (фрактальна) розмірність, а фрактал визначається як безліч, дробова розмірність якого строго більше топологічної. Прикладами фракталов є берегові лінії океанів, морів, озер, рік, сніжинки, криві броуновского руху часток і т.д. Великий інтерес до фракталів у фізиці виникає в самих типових ситуаціях: у завданнях нелінійної хаотичної динаміки, гідродинаміки, статистичної механіки, у теорії фазових переходів, у матеріалознавстві, геомеханіки, хімічній кінетиці і ін. Фрактали, що тут розглядаються мають певні властивості – масштабна інваріантність (самоподібність) або скейлінг.

Енциклопедичний словник "Фізика твердого тіла" дає таке визначення поняття "фрактал": "Фрактал (англ. з'єднання двох слів: fractal – дріб і fracture – злам) – зламаний об'єкт із дробовою розмірністю. Термін "фрактал" уведений Б. Мандельбротом (1977). У математиці фрактал являє собою безліч точок, у яких розмірність Хаусдорфа-Безіковича (фрактальна розмірність) перевищує їх топологічну евклідову розмірність. Фрактальна розмірність d характеризує будь-яку самоподібну систему при зміні лінійних розмірів в f раз; фрактальна величина (наприклад, "довжина" контуру або "площа" поверхні) змінюється (при будь-якому f) у f ^d раз. З характеру фрактальної розмірності видно, що вона зв'язана не з топологією, а зі способом побудови розглянутої безлічі". Відзначається широка застосовність фракталів у багатьох фізичних питаннях: теорії турбулентності, броуновського руху, фазових переходів, неупорядкованих систем, утворення кластерів, росту дендритів, перколяції на неупорядкованих ґратах і ін. Флуктуації температури, щільності й т.п. як функції просторових змінних відносяться до фракталів. Зосереджені на них розподілу ймовірностей інваріантні щодо дії групи масштабних перетворень.

Взагалі фрактальні об'єкти – це безлічі в одне-, дву-, трьох- і т.д. мірному просторі, які володіють рядом специфічних властивостей, точного строгого визначення яких не існує. Можна лише якісно вказати типові риси фрактальних об'єктів:

· наявність тонкої структури та "ізрізанність" деталей як завгодно малого розміру;

· іррегулярность об'єктів, що не дозволяють описувати їх на традиційній геометричній мові метричних (евклідових) або топологічних просторів;

· регулярна або стохастична подібність окремих частин фрактала всьому фракталу – ієрархія самоподібність деталей об'єкта на різних масштабних рівнях;

· завдання за допомогою нескладної рекурсивної процедури або алгоритму, що породжує, ведучих до поступового здрібнювання або укрупнення деталей.

Фрактальні подання знайшли також широкі застосування в економічних, демографічних, фінансових питаннях і оцінці ризику в комерційній діяльності і т.д.

Зокрема, виявляється, що динаміка ринкових цін у часі на товари або цінні папери, дані про розподіл доходів населення, розподіл міст по кількості жителів і ін. носять фрактальний характер.

У різних галузях науки, які використовують імовірнісні підходи, стани випадковості, як затверджує Б. Мандельброт, бувають:

· "м'яке" (помірне, симетричне), що описується гаусовим розподілом або близьким до нього;

· "повільне" (сильно асиметричне), для якого характерно логарифмічно нормальний розподіл або близьке до нього з моментами кінцевого порядку;

· "дике" (незвичайне), типу гіперболічних розподілів Коші, Парето, Леви та ін., що мають степеневий характер, і які можуть або взагалі не мати моментів, або мати їх кінцеве число; у таких розподілів, зокрема, може не існувати середнього або дисперсії – вони мають довгі або, як говорять, важкі "хвости".

Поняття і ідеї фрактальної геометрії. Перейдемо до більш строгого з'ясування змісту основних понять і ідей фрактальної геометрії. Більш-менш математично строге визначення фрактала за Мандельбротом дається у фундаментальній монографії Е. Федера: "Фракталом називається безліч, розмірність Хаусдорфа-Безіковича якого строго більше його топологічної розмірності". Пізніше Мандельброт спростив і звузив своє попереднє визначення і представив його в такому варіанті: "Фракталом називається структура, що складається із частин, які в якомусь змісті подібні до цілого". Для їхньої розшифровки необхідно з'ясувати зміст понять, з яких вони складаються.

Фрактальними вважаються об'єкти з "розповзаючоюся", розрідженою або структурою, що ускладнюється, що мають властивість масштабної інваріантності складових їх візерунків, що нерідко виникають у результаті хаотичних процесів. При спостереженні таких об'єктів видно, що зі зростаючим збільшенням вони проявляють повторюваний на різних масштабних рівнях малюнок – самоподібність. Фрактальний об'єкт може, наприклад, виглядати зовсім однаково незалежно від того, спостерігаємо ми його в метровому, міліметровому або мікронному масштабі. Терміни "самоподібність" і "масштабна інваріантність" мають наступний сенс.

Самоподібність (автомодельність) – властивість множини точок, геометрична структура якої в одному масштабі подібна до її геометричної структури в іншому масштабі.

Подібність, автомодельність і масштабний фактор міцності. Принцип самоподібності (автомодельності) є особистим випадком загальнонаукового принципу подібності. Як відомо, механічна подібність являє собою сталість відносин характеристик механічних систем або явищ, у сідних крапках деформування тіл. Закон подібності встановлює рівність відносних деформацій і питомих робіт деформації в геометрично і механічно подібних навантажених зразках з того самого матеріалу при однакових напружених станах. Звідси треба, що при тому самому значенні і швидкості відносних деформацій зусилля ставляться як квадрати східних розмірів тіл, а роботи деформації – як куби східних розмірів. Масштабний ефект являє собою явище зниження міцності при збільшенні розмірів зразків і найбільш сильно проявляється при руйнуванні тендітних або напівтендітних матеріалів. Реальний матеріал містить різні поверхневі і внутрішні дефекти і володіє мікроскопічною, мезоскопічною і макроскопічною неоднорідністю властивостей, що і приводить до порушення закону про подібність міцності малих і великих зразків. Масштабний ефект найбільше адекватно пояснюється на основі статистичних теорій міцності і руйнування, багатомасштабної багаторівневої і ієрархічної структури реальних твердих тіл: Зі збільшенням розмірів тіла порушується структурна подібність геометрично подібних зразків і збільшується ймовірність знаходження в більших зразках більше небезпечних дефектів, чим у малій, отже, міцність знижується.

Подібність механічних явищ. Вчення про подібність і самоподібність механічних явищ зародилося ще в класиків епохи Відродження. Леонардо да Вінчі (1502), вивчаючи міцність на розрив дротів різних довжин, помітив, що довгі дроти слабкіше коротких при тому самому діаметрі. Новий значний крок у розвитку подань про міцність геометрично подібних тіл був зроблений Г. Галілеєм (1638). Їм були встановлені особливості зміни міцності для геометрично подібних тел. Він затверджував, що геометрично подібні балки неравноміцні. При зростанні розмірів геометрично подібні балки стають усе менш і менш міцними і, зрештою, при досить великих розмірах можуть руйнуватися під впливом однієї лише власної ваги. Всі ці міркування приводять Галілея до наступного важливого зауваження загального характеру: "Міцність подібних тіл не зберігає того ж відношення, що існує між величинами тіл". Далі він затверджує, що якщо зводити спорудження геометрично подібні, то в міру збільшення їхніх абсолютних розмірів вони будуть ставати усе більше й більше слабкими. Галілей теоретично досліджував порівняльну міцність геометрично подібних стрижнів на вигин і знайшов, що міцність стрижня прямокутного перетину пропорційна ширині і квадрату висоти, а круглого перетину – кубу діаметра. Він вважав: "Якщо є балка з певним співвідношенням товщини до довжини, допустимо 1:100, то не може існувати ні однієї іншої балки з того ж матеріалу, що буде пручатися так само. Якщо балка буде більше розмірами, вона буде ламатися від власної ваги, якщо менше – зможе витримати який-небудь вантаж додатково". Це явище, назване згодом масштабним фактором міцності і, що враховується в розрахунках міцності твердих тіл і конструкцій, не одержало навіть до теперішнього часу остаточного рішення. Використовуючи свою теорію вигину, Галілей розробив правила фізичної подібності, заклавши тим самим теоретичні основи аналізу моделей. Він помітив, що навантаження, що може нести балка квадратним перетином (d ´ d) і довжиною L, пропорційна величині d ³/ L.

Звідси Галілей вивів свій закон "слабості гігантів": "Якщо хто-небудь захотів зберегти в гіганті пропорції членів нормальної людини, то необхідно використовувати більше твердий і міцний матеріал". Це означає, що при масі гігантського спорудження W ₂ і масі "нормального" спорудження W ₁, їхніх відповідних розмірах L ₂ і L ₁, міцності матеріалів відповідно f ₂ і f ₁ справедливе співвідношення

(13.1)

За допомогою цього рівняння можна визначити межу міцності спорудження під дією власної маси або ріст людини, при якому не ламалися б кості. Інший вид застосування закону подібності полягає в наступному. Якщо ми маємо модель спорудження в масштабі, наприклад 1:6 або 1:10, то по експериментальному руйнівному навантаженню можна визначити несучу здатність спорудження "у натурі" на підставі наведеної вище формули. Це були перші обґрунтовані подання про подібність механічних явищ при руйнуванні твердих тіл.

Однак наукове формулювання поняттю про подібність механічних систем уперше дав И. Ньютон в 1686 р., розглядаючи подібні рухи двох рідин. Він установлює, що подібний рух буде зберігатися, якщо рушійні сили і сили опору обох тіл будуть пропорційні квадратам швидкостей, квадратам лінійних розмірів і щільності східних частин обох рідин. Іншими словами, Ньютон установлює однаковість в обох механічних систем критерію подібності, що згодом на честь Ньютона був названий критерієм Ньютона. Ньютоном розглянутий лише окремий випадок механічної системи, для якої самоподібна інваріантність зазначеного критерію завжди мала місце. Він дав вичерпне визначення подібності, особливо відносно вимоги, щоб окремі частки, з яких складена система, були геометрично подібні в подібних системах. У ньому втримується вказівка на те, що розміри окремих частин системи повинні бути настільки великі в порівнянні з молекулами, щоб можна було їх розглядати як континууми – умова, що є основним у сучасній теорії подібності. У твердих тілах на кожному структурному рівні, на кожній ієрархічній щаблині структури від атома і молекули до елемента в цілому, матеріал має численні дефекти, що знижують його теоретичну міцність на кожному масштабному рівні до величини реальної міцності. Для пояснення цього явища знову звернулися до масштабного фактора міцності матеріалів, відкритому Галілеєм. Однак коли він затверджував, що "більша машина слабкіше маленької", – мова йшла про елементи (балках, стрижнях, колонах) або конструкціях (механізмах, галерах). У часи Галілея питання про поширення масштабного ефекту на інші структурні рівні матеріалу не розглядався. Ньютон у своєму трактаті "Оптика", через приблизно 70 років після Галілея, уперше висловлює думка про дію масштабного фактора для мікрочастинок на різних самоподібних структурних рівнях: "Дрібні частки матерії можуть зчіплюватися за допомогою найсильніших притягань, становлячи більші частки, але більш слабкі, багато які з них можуть зчіплюватися і складатися ще більш слабкою силою – і так у ряді послідовностей, поки прогресія не закінчиться самими більшими частками, від яких залежать хімічні дії і кольори природних тіл, при зчепленні таких часток складаються тіла помітної величини". Протягом багатьох років у теорії пружності не надавалося великого значення цьому висловленню. Існування масштабного фактора міцності і його неврахування на мікрорівні не заважали будувати класичну теорію опору матеріалів для ідеально пружного тіла. Коли ж з'явилися формули, що описують залежність геометричних розмірів елемента від сприйманої їм навантаження, стало можливим математично довести роль масштабного фактора в питаннях міцності й руйнування матеріалів.

В 1874 р. з'явилася перша робота з теорії подібності в Росії. В.Л. Кірпічов у своїй доповіді "Про подібність при пружних явищах" вивів і довів умови, яким повинні відповідати сили, прикладені до поверхні геометрично подібних тіл, для того, щоб внутрішні напруження в них були подібні. У своїй роботі він пише: "... два тіла, зроблені з того самого матеріалу, які були подібні до додатка до них зовнішніх сил, залишаються подібними і після дії їх, якщо сили розподілені подібним чином по поверхні обох тіл, а величини відповідних сил на одиницю поверхні однакові в обох тілах. При цьому всі внутрішні сили першого тіла будуть дорівнюють відповідним силам другого, тобто обоє тіла будуть однаково міцні". Після математичного доказу цього положення В.Л. Кірпічов відзначає, що робота внутрішніх сил пропорційна обсягам подібних тіл, і при цьому легко помітити, що воно буде справедливо не тільки для ізотропних тіл, але і для анізотропних і неоднорідних, якщо у двох подібних тілах анізотропія або неоднорідність також подібні. Трохи пізніше закон подібності уточнювався і формулювався більш точно; Кірпічов прагнув поліпшити його формулювання в нових виданнях лекцій по опорі матеріалів. Проблему подібності він зв'язує з роботою внутрішніх сил опору удару: "Якщо два тіла, зроблені з того самого матеріалу, одержують такі зміни форми, при яких обоє тіла однаково міцні, те відповідні роботи внутрішніх сил ставляться між собою, як обсяги тіл". Далі Кірпічов поширив доведену теорему подібності на питання конструювання машин.

Закон Кірпічова знайшов широке застосування в моделюванні процесів дроблення, у технологічних питаннях: здрібнюванні, роздавлюванні, розпиленні, відділенні стружки, пробивання, пресуванні, прокатки, протягання та ін.

Контрольні запитання

1. Уявлення про фрактали.

2. Поняття і ідеї фрактальної геометрії.

3. Подібність, автомодельність і масштабний фактор міцності.

4. Подібність механічних явищ.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 88; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!