Тема 1. Перша світова війна 1914-1918 рр. 2 страница

В загальному випадку при зміні умов контракту складається рівняння фінансової еквівалентності, у якому сума платежів, що заміняються, зведених до одного моменту часу, прирівнюється сумі платежів по новому зобов’язанню, що зведені на той же час.

Звичайно в межах року рівняння еквівалентності складається на основі простих ставок. За межами року - на основі складних ставок.

Розглянемо складання рівняння еквівалентності на кількох прикладах.

Боржник домовився з банком про консолідацію трьох платежів термінів 15.05, 15.06, 15.08.

Суми платежів 10, 20, 22,8 т. грн. Термін консолідації 01.08. Ставка простих відсотків і=36,5%. К=365 дн. Знайти суму консолідованого платежу.

Розв’язок.

Знайдемо терміни від дня консолідації до дати кожного з платежів. За таблицею номерів днів року маємо:

15.05=135, 15.06=166, 15.08=227, 01.08=213.

Отже,

Зведемо усі платежі на дату консолідації. При цоьму перший і другий платежі треба наростити, а третій дисконтувати на дату консолідації.

Отримуємо таке рівняння еквівалентності:

Звідси:

т. грн.

Аналогічно можно консолідовувати векселі, що має значення при визначенні вартості пакету векселів.

Консолідацію можно проводити за складними ставками.

Платежі т. грн., т. грн. з термінами 100 дн., 150 дню відрахованих від однієї бази замінюються одним терміном 200 днів. Складна річна ставка 30%. К=365 днів. Знайти консолідуючий платіж.

Розв’язок.

Зведемо платежі на дату консолідації

т. грн.

Перший платіж нарощували 200-100=100 днів, другий - 200-150=50 днів.

Якщо задана сума консолідованого платежу, то треба знаходити дату консолідації (знаходити n)

Платежі 10, 15, 20 т. грн. сплачуються через 25, 45, 70 днів після якоїсь дати. Їх замінюють одним платежем 47 т. грн. Проста ставка і =36,5%. Рік невисокосний. Знайти дату консолідації.

Розв’язок.

Зведемо всі платежі на початок відліку. Отримаємо таке рівняння еквівалентності:

де - термін консолідованого платежу.

Отже термін консолідації - 98 днів від дати відліку.

Таким же чином можливо проводити консолідацію за складними ставками і за обліковими ставками, можна розв’язувати і інші задачі зміни умов контрактів.

В тих випадках, коли консолідована сума дорівнює сумі платежів:

,

застосовують наближену формулу терміну консолідованого платежу:

(55)

тобто беруть як середнє арифметичне зважене з термінів платежів

Платежі 10, 15, 20 т. грн. сплачуються через 30, 40, 70 днів після якоїсь дати. Прийнято рішення замінити їх одним платежем 45 т. грн. Знайти термін консолідованого платежу.

Розв’язок.

За формулою (55) знаходимо:

день.

8. Потоки платежів і фінансові ренти.

Фінансові операції часто передбачають розподілені у часі виплати і надходження.

Наприклад, погашення довгострокового кредиту, інших заборгованостей, грошові показники інвестиційного процесу, доходи по цінних паперах, тощо.

В зв’язку з цим вводять поняття потоку платежів.

Потік платежів - це послідовність сплат і надходжень. Члени потоку можуть бути як додатні (надходження) так і від’ємні (сплати).

Фінансова рента (аннуїтет) - це потік платежів, усі члени якого додатні величини, а проміжки часу між двома послідовними сплатами - однакові.

Наприклад, створення грошових фондів, оплата доходу по акціях і облігаціях, сплата споживчого кредиту, показники інвестиційного процесу. Усе це приклади фінансових рент.

Схема ренти - один з методів фінансового аналізу.

Для рент вводять такі параметри:

(R)- член ренти - величина окремого платежу;

період ренти - інтервал часу між платежами;

(i) - відсоткова ставка - ставка, що використовується при нарощенні, або дисконтуванні;

(n) - термін ренти - час від початку ренти до кінця її останнього періоду;

(p) - кількість платежів на рік.

(m) - кількість нарахувань відсотків на рік.

Ренти класифікують за тривалістю періода на річні, коли сплата раз на рік, та р-термінові, коли сплата р разів на рік рівними частинами.

Відсотки по ренті теж можуть нараховуватись раз і m разів на рік.

Якщо члени однакові, то рента зветься сталою. Якщо - різні, то рента змінна.

Рента з скінченою кількістю членів зветься скінченою. Рента з нескінченою кількістю членів - нескінченою.

Коли сплата відбувається в кінці періодів, то це - рента постнумерандо. Коли на початку періодів, то - рента пренумерандо.

Рента називається терміновою, якщо сплати по ній починаються з початком ренти. Рента - відкладена, коли сплата починається пізніше.

Узагальненими характеристиками ренти є нарощена сума і теперішня величина.

Нарощена сума S - сума усіх членів ренти з нарахованими на них відсотками на кінець терміну ренти.

Теперіщня величина А - сума усіх членів ренти дисконтованих на початок ренти.

Розглянемо річну сталу ренту (звичайну ренту).

S - нарощена сума,

A - теперішня величина,

R - член ренти,

і - відсоткова складна ставка,

n - термін ренти.

Нехай сума R вноситься в кінці кожного року в банк під і річних складних відсотків на протязі n років. Відсотки нараховуються в кінці року. Маємо сталу річну ренту постнумерандо.

Підрахуємо нарощену суму S:

Перший член зросте до , другий - до останній - рівен R. Отже

За формулою суми геометричної прогресії знаходимо

(56)

Вираз

(57)

називають коефіцієнтом нарощення ренти. Він показує у скільки разів S більше за R. s затабульвані для цілих n і різних і. В інших випадках обчислюються безпосередньо.

З (56), (57) отримуємо нарощену суму ренти у вигляді:

(58)

Підрахуємо теперішню вартість ренти А:

це сума усіх платежів по ренті дисконтованих на її початок. Нехай

(59)

тоді перший член має вартість на початок ренти, другий член - ,..., останній - .

За формулою суми геометричної прогресії

(60)

Вираз

(61)

називають коефіцієнтом зведення ренти. Отже, маємо формулу

(62)

. показує у скільки разів А більше за R. Коефіцієнти . для цілих n та певних і табулюються. Для інших (n,i) обчислюються безпосередньо.

Мають місце властивості:

(63)

Із виразів (57), (61), (56), (60) випливає:

(64)

Тобто S можна отримати з теперішньої величини А нарощенням з множником

Створюється фонд. Внески робляться раз в кінці року по 100 т. грн. на протязі 3-х років. На зібрані кошти нараховується 36% річних в кінці року. Знайти нарощену суму (розмір фонду на кінець утворення).

Розв’язок.

За формулою (58) при R=100 т. грн., n=3, і =36% знаходомо

т. грн.

Інвестиції передбачають щорічне виділення коштів по 100 т. грн. на протязі 4-х років. Діюча ринкова ставка довгострокових кредитів дорівнює 48% складних річних. Знайти теперішню вартість потоку платежів.

Розв’язок.

За формулою (60) знаходимо

т. грн.

Загальною рентою називається рента, у якій член ренти сплачується р разів на рік рівними частинами, а нарахування відсотків відбувається m разів на рік. Нарощена сума S і теперішня величина А знаходяться за формулами

(65)

В умовах прикладу 35 на зібрані кошти нараховується відсотки щоквартально. Знайти нарощену суму.

Розв’язок.

Маємо m=4, p=1. За (65) знаходимо

т. грн.

Порівнюючи з прикладом 35 бачимо, що більш часте нарахування відсотків збільшує нарощену суму.

Важливим видом ренти є вічна рента.

Вічна рента - це послідовність платежів з необмеженою кількістю членів.

Прикладами вічної ренти є виплати по облігаційним займам, пенсійним і страховим фондам, тощо.

Нарощена сума вічної ренти дорівнює нескінченності.

Теперішня величина знаходиться з (60) з врахуванням (63) так:

(66)

Формула (66) має значення при заміні ренти, або її викупі, при оцінці акцій і облігацій.

З (66) знаходимо

(67)

тобто, член вічної ренти дорівнює відсотку по ренті від її теперішньої (зведеної) величини. Формула (67) використовується при капіталізації постійних доходів.

Акція приносить сталий прибуток 0,43 грн. щорічно. Яка її теперішня вартість, якщо діюча на ринку ставка по кредитах - 30% річних складних?

Розв’язок.

З (66) при R=0,43, і =0,3 знаходимо

грн.

9. Знаходження параметрів фінансових рент.

Часто виникає задача, знаючи А або S знайти один з параметрів ренти при відомих інших.

Якщо відомі А або S, термін ренти n та ставка і, то з (58), (62) знаходимо член ренти R:

(68)

Аналогічно використовуємо формули (65).

Якщо S, A, R, і відомі, то термін ренти n знаходимо з (58), (62) як вирази:

(69)

причому друга формула (69) має сенс при умові

Аі<R. (70)

Аналогічно вирази для n можна знайти з (65).

Підприємство вирішило створити фонд 1,5 млн. грн. за 3 роки. Якщо суму 986,2 тис. грн. розмістити під 15% у банку, то на кінець 3-го року мали б:

млн. грн.

Але одночасне забирання такої суми із господарчого обороту недоцільне. Тому віддається перевага щорічним рентним платежам. Маємо за (68) при і =15%, n=3:

тис. грн.

Отже щорічний внесок 431,9 тис. грн. сформує фонд 1,5 млн. грн. на кінець 3-го року.

Сума інвестицій 100 тис. грн., віддача 25 тис. грн. щорічно. На борг нараховуються 20% річних. За який термін окупляться інвестиції?

Розв’язок.

Якщо теперішня величина надходжень більше інвестицій, то маємо їх окупність. Отже з (69) знаходимо:

р.

Інвестиції окупляться майже за 9 років. Якби взяли R=20 тис. грн., то інвестиції не окупилися би.

При визначенні доходності операцій з періодичними сплатами виникає задача знаходження ставки і ренти.

Щоб знайти ставку і треба розв’язати рівняння

або (71)

відносно і при відомих S, R, n, A.

Нелінійні рівняння (71) розв’язуються інтераційними методами Ньютона.

На практиці дуже зручно для розв’язку (71) користуватись програмами роботи з електронними таблицями, наприклад EXCEL 5.0. Для знаходження і використовується вбудована функція BHDOX (IRR) (див. EXCEL 5.0 для Windows, т. 2, c. 430-431).

За 7 років треба створити фонд 100 тис. грн. Для цього щорічно виділяють 10 тис. грн. Якою потрібна бути ставка, щоб фонд утворився?

Розв’язок.

Для і маємо рівняння

Звідси знаходимо і=11,709%.

Для знаходження наближеного розв’язку рівнянь (71) методом Ньютона, подамо ці рівняння у вигляді

(72)

Кожне з рівнянь (72) має вигляд

, (73)

де - функція, що задається лівою частиною (72).

Нехай якесь наближення до розв’язку (73). Тоді його уточнення за методом Ньютона має вигляд:

(74)

де - похідна функції .

Для рівнянь (72) формули (74) виглядають так:

(75)

(76)

Наближення знаходять звичайно з практичних міркувань.

За даними прикладу 41 знайдемо наближене значення і взявши За формулою (75) маємо:

Підставивши і у праву частину (75) отримаємо друге наближення і . Таким чином можна отримати розв’язок рівнянь (72) з будь-якою точністю.

10. ВНУТРІШНЯ НОРМА ДОХОДНОСТІ

Інвестиційний процес об’єднує два процеси: інвестиції (утворення виробничого об’екту, купівля цінних паперів,...) і послідовне отримання доходу.

Будь-який метод оцінки інвестиційних проектів зв’язаний з зведенням грошових величин до одного моменту часу.

Використовують такі характеристики інвестиційного процесу: чистий зведений доход, внутрішня норма доходності, термін окупності, рентабельність.

Зупинимось докладніше на ВНД - внутрішній нормі доходності, або внутрішній швидкості обороту (internal rate of return - IRR)

Представимо графічно інвестиційний процес:

Інвестиції обсягів у моменти відкладаємо вниз і вважаємо від’ємним доходом. Доходи у моменти відкладаємо вгору.

Дисконтуємо усі доходи і інвестиції на початок відліку.

ВНД (IRR) - це відсоткова ставка, при якій зведена величина інвестицій дорівнюватиме зведеній величині доходів.

Тобто при нарахуванні на інвестиціі К відсотків за ставкою і=IRR отримуємо розподілений у часі доход.

Чим вище IRR. тим більша ефективність інвестицій.

Виходячи з графічного представлення інвестиційного процесу складемо рівняння для ВНД= і:

(77)

Рівняння (77) - нелінійне рівняння відносно і.

Розв’язується чисельними методами типу Ньютона з будь-якою точністю.

Для знаходження IRR використовується функція ВНДОХ (значення, прогноз), де у значення вводимо , а прогноз - наближенна оцінка IRR (див. EXCEL 5.0 для WINDOWS, т.2, с.430-431).

Якщо в найпростішому випадку інвестиції К - разові на початку і щорічний доход сталий Е, то можна використати формулу ренти. ВНД=і є розв’язком рівняння

де n - термін проекту.

З нерівності (70) випливає, що умова окупності інвестицій К має вигляд

Кі<E, (78)

тобто щорічні доходи повинні бути більше ніж відсоток від інвестицій.

Інвестиції на початку - 60 т. грн., доходи на протязі п’яти років 12 т. грн., 14т. грн., 17 т. грн., 19 т. грн., 21 т. грн. (в кінці року). Знайти ВНД інвестиційного проекту.

Розв’язок.

Рівняння для і=ВНД (IRR) має вигляд:

У чарунки електронної таблиці EXCEL 5.0 послідовно вводимо: А1=-60; A2=12; A3=14; A4=17; A5=19; A6=21. Використовуємо команду ВНДОХ (А1:A6). Отримуємо результат і=11%.

Якщо інвестиції залучались за відсоток менший ніж 11%, то матимемо прибуток. Якщо відсоток залучення більший 11%, то інвестиції не окуповуються.

Пропонується продаж облігації за номіналом N=100 грн., з оголошеною доходністю 25% річних, терміном 3 роки. В кінці терміну облігація викуповується за номіналом. Продавець бере комісійні 1%. Якою буде доходність для покупця купівлі облігації?

Розв’язок.

Якщо продаж відбувається за номіналом без комісійних, то доходність дорівнюватиме оголошеній доходності 25%.

Якщо врахувати комісійні, то ставка доходності і є розв’язком рівняння:

(* * *)

Дійсно. Зліва стоїть вартість покупки облігації з комісійними. Справа - зведена величина відсотків і викупної ціни.

Рівняння (* * *) набуває вигляду:

або

(* * * *)

Розв’яжемо його наближеним методом (74). Оскільки ліва частина (* * * *) при і=0,25 менша за нуль, а при і=0,24 більша за нуль, то доходність лежить в межах 0,24< і <0,25. За (74) знаходимо для

та початкового наближення і₀=0,24

Отже доходність зменшилась на 0,5% у порівнянні з оголошеною по облігації.

11. ПЛАНУВАННЯ ПОГАШЕННЯ ЗАБОРГОВАННОСТІ.

При плануванні погашення боргу визначають періодичні виплати, які називають терміновими виплатами. Термінова виплата складається з суми погашення основного боргу і відсоткових платежів.

Умови кредитування містять: термін позики, тривалість льготного періоду, рівень відсоткової ставки, метод погашення відсотків і основної суми.

За методами погашення боргу всі позики ділять на види:

- Позика без обов’язкового погашення. Боржник сплачує лише відсотки, не повертаючи позиченої суми.

Прикладами такої позики є випуск акцій, облігацій.

Розрахунок проводиться за формулами вічної ренти.

- Позика з обов’язковим погашенням в один строк. Боржник повертає позичену суму у домовлений строк і сплачує відсотки.

- Позика з обов’язковим погашенням у декілька строків. Боржник повертає позичену суму частинами і сплачує відсотки.

Для боржника і кредитора на кожний момент виплат по боргу важливо знати залишок по сплаті основного боргу і відсотків по ньому. Для цього треба складати план погашення боргу.

Розглянемо планування погашення боргу при погашенні у декілька термінів. При цьому існує три способи погашення: рівними сумами основного боргу, рівними терміновами сплатами, змінними терміновими сплатами.

Розглянемо більш докладно.

Погашення боргу рівними терміновими сплатами.

Нехай D - сума боргу, g - ставка складних відсотків по боргу, Y - термінова сплата, n - термін боргу (у роках). Сплачується стала термінова сплата Y. Частина йде у погашення боргу, частина - у погашення відсотків.

(79)

- залишок боргу на початок періоду t,

R - сплата основного боргу в періоді t.

Нехай заданий термін позики n.

Тоді і - по формулі ренти (прирівнюємо суму боргу теперішній величині сплат по ньому). Отримуємо

(80)

і послідовно знаходимо з врахуванням (80)

(81)

D=200 т. грн., n=4p., g=10%. Погашення рівними терміновими сплатами. Скласти план погашення.

Розв’язок.

Згідно (80) маємо

грн.

грн.

грн.

грн.

грн.

План погашення

Бачимо, що сплати по відсотках спадають, а по погашенню основного боргу - зростають.

Окремо розглянемо випадок іпотечної позики. По цьому виду позики власник нерухомості отримує кредит під заставу майна. У випадку неповернення позики в обумовлений термін майно стає власністю кредитора. Розмір позики не перевищує 70-75% вартості майна,що заставляється.

Традиційна іпотека погашується рівними щомісячними терміновими сплатами.

Для розрахунку величини щомісячної сплати використаємо формулу (80), перетворивши її відповідним чином:

(82)

де D - сума боргу, Y - термінова сплата, p=m - кількість періодів нарахування відсотків у році і кількість сплат у році, n - кількість років кредиту.

Розрахунок суми основного боргу, що залишився у t-ому періоді проводять по формулі:

(83)

За даними прикладу 45 погашення і сплата відсотків відбувається щомісячно. Знайти термінову сплату і величину несплаченого основного боргу на початок 3-го року погашення.

Розв’язок.

У формулах (82), (83) беремо m=12; g=0,1; n=4; D=200000.

грн.,

t-1=12*2-1=23;

m*n=48;

грн.

Окрім традіційної іпотеки застосовують позики з змінюваною відсотковою ставкою і позики з сталим збільшенням витрат по обслуговуванню боргу.

Задачі для самостійного розв’язку

1. Банк видав позику розміром 100тис. грн 30.01 до 05.10 включно під 5% річних. Рік високосний. Знайти з точністю до тис. грн розмір погашувального платежу, обчислюючи точну кількість днів позики.

2. Надана позика 25 тис. грн. В перше півріччя простий відсоток складає 30%. В другому півріччі - 35%. Термін позики - рік. Знайти розмір боргу на кінець угоди.

3. Позика надана на 100 днів під 45% річних простих. В кінці терміну боржник сплатить 15 тис. грн. Рік високосний. Який кредит отримав боржник?

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 72; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!