Тема 1. Перша світова війна 1914-1918 рр. 1 страница

Приклад 46.

Приклад 45.

Приклад 44.

Приклад 43.

Приклад 42.

Приклад 41.

Приклад 40.

Приклад 39.

Приклад 38.

Приклад 37.

Приклад 36.

Приклад 35.

Приклад 34.

Приклад 33.

Приклад 32.

Приклад 31.

Приклад 30.

Приклад 29.

Приклад 28.

Приклад 27.

Приклад 26.

Приклад 25.

Приклад 24.

Приклад 23.

Приклад 22.

Приклад 21.

Приклад 20.

Приклад 19.

Приклад 18.

Приклад 17.

Приклад 16.

Приклад 15.

Приклад 14.

Приклад 13.

Приклад 12.

Приклад 11.

Приклад 10.

Приклад 9.

Приклад 8.

Приклад 7.

Банк в першому кварталі випустив депозитний сертіфікат з терміном погашення в кінці першого кварталу. Сертіфікат викуповується за 50 грн. Оголошена доходність - 30% простих річних. К=365. Знайти ціну продажу сертіфікату і суму дисконту.

Розв’язок.

S=50грн., i =0,3, K=365,

t=31+28+31=90дн. За (11) знаходимо:

грн., D=50-46,56=3,44грн.

Банківський облік (або облік векселів) - це відшукання теперішньої суми боргу Р за відомою величиною S у майбутньому, терміном позики n і обліковою ставкою d.

При банківському обліку відсотки за користування позикою нараховуються на суму S, яку треба сплатити у майбутньому. Отже, за базу нарахування береться сума боргу у майбутньому, а відповідні відсотки є антисипативними.

Нехай

d - проста облікова ставка;

P,S - теперішня і майбутня величини боргу,

n - термін угоди в роках.

Тоді

(12)

Зокрема, при n=1 маємо вираз облікової ставки через суми боргу на початку і в кінці року:

(13)

Для порівняння наведемо вираз простої відсоткової ставки в тих же умовах:

(14)

З (13), (14) видно, що і та d відрізняються вибором бази порівняння.

Облікові ставки вимірються у відсотках і у коефіцієнтах.

З (12) знаходимо

P=S-Snd=S(1-nd) (15)

Вираз (1-nd) називається дисконтним множником за простою обліковою ставкою d.

З (12) знаходимо дисконт

D=S-P=nSd (16)

Звичайно банківський облік за простими ставками використовується в межах року. В цьому випадку n - дробове і покладають

(17)

де t - точна кількість днів угоди, К - база року, яка приймається рівною 360 днів.

Кредит 10000 грн. виданий на рік під облікову ставку d=15%. Знайти суму отриманих грошей і дисконт узятий банком.

Розв’язок.

P=10000(1-0,15)=8500 грн.

D=10000-8500=1500 грн.

Вексель номінальною вартістю 1500 грн. облікований у банку за 30 днів до його терміну погашення по обліковій ставці 20%. Знайти суму отриману векселетримачем і дисконт.

Розв’язок.

Маємо S=1500 грн., d=0,2, t=30 дн., К=360 дн.

грн., D=1500-1475=25 грн.

При наступі терміну векселя банк отримає по ньому 1500 грн. і, отже, реалізує дисконт.

За простими обліковими ставками може вестись і нарощення. З (15) знаходимо

(18)

Вираз називають множником нарощення за простою обліковою ставкою d.

Нарощення за обліковою ставкою йде швидше, ніж за простою відсотковою ставкою.

3. Визначення інших параметрів фінансових угод з простими ставками.

Іноді треба вирішувати обернені задачі знаходження і, n, d за відомими S та Р.

З формул (15), (4), (2) знаходимо:

(19)

якщо n вимірюється у роках.

Якщо термін угоди шукається у днях, то:

, (20)

(К=360,365,366) (К=360)

Можливі значення К дані під формулами.

Аналогічно з(2), (4), (15) знаходимо ставки:

(21)

або

(22)

(К=360,365,366), (К=360)

Формули (21), (22) використовують при обчисленні доходності фінансових операцій.

Початкова сума боргу 10000 грн. Через 90 днів передбачається погасити 11000 грн. Визначити доходність операції для кредитора у простій відсотковій і простій обліковій ставці. Рік невисокосний.

Розв’язок.

За (22) знаходимо:

Яка тривалість позики у днях, щоб борг 1000 грн. зріс до 1100 грн. при нарахуванні 35% простих річних відсотків? Рік невисокосний.

Розв’язок.

За (20) знаходимо:

дні.

Зауважимо, що у фінансовому аналізі доходність операцій завжди вимірюється у річній відсотковій ставці (простій або складній). Якщо доходність знайдена у обліковій ставці, то результат треба перерахувати у річну відсоткову ставку.

4. Нарахування складних річних відсотків.

Складні відсотки використовуються тоді, коли відсотки одразу після нарахування не сплачуються, а приєднуються до суми боргу.

База для нарахування складних відсотків збільшується з кожним кроком у часі.

Нарощення за складними відсотками є послідовне реінвестування коштів, які вкладені на один період під простий відсоток.

Капіталізація відсотків - це приєднання відсотків до суми, яка є базою для нарахування в наступному періоді. Отже при застосуванні складних відсотків відбувається їх капіталізація.

В практичних питаннях застосовують дискретні складні відсотки. В теоретичних питаннях фінансового аналізу застосовують і неперервні відсотки.

Формула нарощення за складними відсотками має вигляд:

(23)

де: n - термін угоди у роках; Р - початковий борг; S - кінцева сума боргу; і - річна ставка складних відсотків.

Вираз зветься множником нарощення за складними відсотками. Для цілих і певних значень і він табулюється. Для інших значень (i,n) його треба обчислювати безпосередньо.

Якщо використовуються змінні з часом ставки, то нарощення відбувається за формулою:

(24)

яку корисно порівняти з формулою (6) нарощення за змінною простою ставкою.

Відсоткова ставка по позичці дорівнює 30% складних річних. В яку суму обернеться борг рівний 10000 грн. через 3 роки?

Розв’язок.

За формулою (23) знаходимо

грн.

Складний відсоток по позичці дорівнює 46% плюс маржа 4% в перші два роки і 5% в наступний рік. Знайти множник нарощення за 3 роки.

Розв’язок.

За (24) знаходимо

Зобразимо графічно швидкість зростання за простими і складними відсотками. Нехай ставка і однакова:

Отже, при 0<n<1,

при n>1,

Тобто, в межах року швидше зростають простi вiдсотки, за межами року - швидше зростають складнi вiдсотки.

Для порiвняння темпiв зростання знайдемо кiлькiсть рокiв збiльшення капiталу Р у N разiв при простих і складних вiдсотках. Із співвідношень

та знаходимо:

(25)

де ln - натуральний логарифм.

В частинному випадку при N=2 знаходимо кількість років подвоєння капіталу:

(26)

відповідно для складних і простих відсотків.

Визначити кількість років необхідних для збільшення капіталу у 8 разів для складної і простої ставки і=40%.

Розв’язок.

За формулою (25) маємо:

1) складна ставка і=40%:

2) проста ставка і=40%:

При дробовому n складні відсотки підраховуються або безпосередньо по формулі (23), або з застосуванням мішаного методу. Згідно цього методу за цілу кількість років нараховуються складні відсотки, а за дробову частину - прості.

(27)

де n=a+b; а - ціла частина, b - дробова частина n.

За формулою (27) множник нарощення більший ніж за (23).

Кредит у розмірі 10000 грн. виданий на 2 роки і 73 дня під 50%. Метод нарахування - мішаний. К=365 днів. Знайти суму боргу на кінець терміну угоди.

Розв’язок.

грн.

В фінансових угодах часто передбачається нарахування відсотків частіше ніж раз на рік.

В цьому випадку для підрахунку нарощеної суми можна використовувати формулу (23), де n - кількість періодів нарахування, і - відсоткова ставка віднесена до періоду.

Але звичайно вказують не піврічну, квартальну, місячну ставки, а річну, яка зветься номінальною.

Номінальна ставка j - це річна ставка відсотків, за якою відсотки нараховуються m разів на рік.

Нарощення за номінальною ставкою j здійснюється за формулою:

(28)

де n - тривалість угоди в роках. Зрозуміло, що

N=mn - це кількість періодів нарахувань.

Таким чином річний множник нарощення за номінальною ставкою j дорівнює:

(29)

При збільшенні m зростає темп нарахувань, тому що капіталізація відбувається частіше.

Розрахунки по формулі (28) можна проводити точним і мішаним методом згідно (27).

В зв’язку з використанням номінальної ставки, вводять поняття ефективної відсоткової ставки, що відповідає даній номінальній.

Ефективна ставка відсотків - це відносний доход отриманий за рік, тобто - це доходність операції у річній ставці відсотків.

Нехай j - номінальна, а - відповідна ефективна ставки. Тоді прирівнюючи множники нарощення маємо:

Звідси:

(30)

З (30) випливає, що .

Заміна в угоді номінальної ставки на ефективну не змінює відносин сторін, тому що ці ставки еквівалентні у фінансовому відношенні.

j=20%. Щоквартальне нарахування відсотків на протязі 5 років. Знайти множник нарощення.

Розв’язок.

Маємо m=4. Отже:

Банк нараховує відсотки за номінальною ставкою 30% річних. Знайти ефективну річну ставку за умов щомісячної і щоденної капіталізації.

Розв’язок.

За формулою (30) знаходимо:

1) щомісячна капіталізація (m=12):

2) щоденна капіталізація (m=365):

5. ДИСКОНТУВАННЯ І ОБЛІК ЗА СКЛАДНИМИ СТАВКАМИ

Математичне дисконтування за складною ставкою, тобто знаходження Р за S, відбувається за формулами, які випливають з (23):

(31)

Вираз

(32)

називається дисконтним множником складних відсотків. Він табулюється при цілих n для певних значень і, а в інших випадках обчислюється безпосередньо.

Визначити теперішню величину 5000 грн., які будуть сплачені через 2 роки при використанні ставки 40% складних річних.

Розв’язок.

грн.

Якщо відсотки нараховуються m разів на рік за номінальною ставкою j, то з (28) отримуємо

(33)

де n - кількість років. Отже в цьому разі дисконтний множник дорівнює:

(34)

З (31), (33) знаходимо дисконт суми S:

(35)

або

(36)

Cпіввідношення дисконтних множників при простій і складній ставці таке (при ):

0

, . (37)

Визначити теперішню величину суми 5000 грн., яка буде сплачена через 2 роки. Складна ставка відсотків - 40% річних. Дисконтування щоквартальне.

Розв’язок.

грн.

Порівняти з прикладом 18.

Банківський облік за складною обліковою ставкою проводять за формулою:

(38)

де n - тривалість угоди в роках,

- складна облікова ставка,

S - майбутня сума боргу,

Р - теперішня сума боргу,

- дисконтний множник.

При цьому дисконт, який отримує банк, дорівнює:

(39)

Нехай дисконтування відбувається m разів на рік. Тоді за n років маємо

(40)

де - номінальна облікова ставка. Дисконтування за номінальною ставкою вповільнює процес зменшення S і зменшує суму дисконту.

Ефективна облікова ставка - це така річна ставка, застосування якої еквівалентне застосуванню номінальної . Отже

та

(41)

З (41) бачимо, що завжди .

За складною обліковою ставкою може проводитись і нарощення:

(42)

Потреба в цьому виникає при заповненні векселя при відомій сумі Р отриманій векселетримачем. Якщо використовується номінальна ставка, то

(43)

Знайти суму дисконту при продажу фінансового інструменту на суму 10000 грн., якщо термін погашення 1,5 року. Продавець застосував складну річну облікову ставку 36%.

Розв’язок.

грн.

грн.

В умовах прикладу 20 дисконтування відбувається 2 рази на рік.

Розв’язок.

P= грн.

D=10000-5510=4490 грн.

В умовах прикладу 21 знайти ефективну облікову ставку.

Розв’язок.

.

Знайти нарощену суму боргу, якщо початкова сума 10000 грн., термін погашення 2 роки. Складна річна облікова ставка 25%.

Розв’язок.

грн.

6. ВИЗНАЧЕННЯ ІНШИХ ПАРАМЕТРІВ УГОД З СКЛАДНИМИ СТАВКАМИ.

При розробці контрактів необхідно вміти розв’язувати обернені задачі і визначати термін позики, кількість періодів нарощення, ставки відсотків, облікові ставки.

Розв’язуючи співвідношення (40), (28), (23), (38) відносно n знаходимо:

(44)

За який термін (у роках) сума 20000 грн. зросте до 30000 грн. при умові, що на неї нараховуються відсотки за ставкою 20% річних складних раз на рік і щоквартально.

Розв’язок.

1) р.=2р.+80 дн.

2) р.=2р.+25 дн.

З тих же співвідношень (28), (38), (23), (40) отримуємо

(45)

Формули (45) використовуються при підрахунках доходності проведених операцій. Причому показником доходності є річна складна ставка відсотків. Якщо доходність підрахована в облікових ставках, то показник треба перевести у складну річну ставку відсотків.

Сума сертіфіката 1000 грн. При 3-річному терміні зберігання виплачується 1500 грн., при 5-річному - 2500 грн. Визначити доходність у вигляді складної річної ставки відсотків для кредитора вкладання коштів у сертіфікат.

Розв’язок.

1)

2) .

Вексель виписаний на 2 роки. При його обліку власник бажає отримати 80% суми векселя. Якою повинна бути складна облікова ставка?

Розв’язок.

Маємо n=2. За (45) знаходимо:

7. Еквівалентність відсоткових ставок. Зміна умов контрактів.

У фінансових розрахунках використовуються різні відсоткові ставки. Якщо ці ставки у конкретних умовах угоди призводять до одного і того ж фінансового результату, то вони називаються еквівалентними.

Для учасників операції не має значення які ставки будуть використані в угоді, якщо ці ставки еквівалентні.

Виведемо кілька співвідношень еквівалентності простих, простих і складних, складних ставок.

Оскільки початкові і кінцеві результати угоди однакові при застосуванні різних ставок, то повинні бути рівними множники нарощення або множники дисконтування.

Еквівалентність простих ставок відсотків і облікової.

З рівності множників нарощення

де - проста відсоткова,

d - проста облікова ставки,

Отримуємо (n - у роках):

(46)

Бачимо, що еквівалентність залежить від терміну n.

Якщо позика вимірюється у днях, то в залежності від бази року К маємо співвідношення між еквівалентними ставками:

К=360: (47)

K=365 (366): (48)

Якщо К=366, то замінюємо у (48) 365 на 366.

Знайти значення відсоткової ставки еквівалентної простій обліковій 25% за рік.

Розв’язок.

n=1, d=0,25.

За (46) знаходимо:

Яка доходність у ставці простих відсотків (К=365) обліку векселя по обліковій ставці 15%. Термін сплати по векселю - 250 днів.

Розв’язок.

За формулою (48) знаходимо:

Операція обліку повинна принести 35% доходу на рік. Термін позики 60 днів. К=365. Прості відсотки. Знайти облікову ставку.

Розв’язок.

За формулою (48) знаходимо:

Еквівалентність простої і складної ставок

З рівності множників нарощення

знаходимо співвідношення між простою і їй еквівалентною складною ставкою:

(49)

Позика видана під 40% складних річних. Знайти рівень еквівалентної простої ставки при терміні 2 роки. К=365. Теж саме при терміні 6 місяців.

Розв’язок.

Знаходимо за (49):

Еквівалентність простої і номінальної j ставок

Випишемо лише співвідношення еквівалентності:

(50)

Еквівалентність простої облікової d і складної і ставки

З рівності множників нарощення

(*)

знаходимо (n у роках):

(51)

Якщо термін угоди у днях, то виходимо з такої рівності замість (*):

(* *)

Звідси знаходимо:

(52)

Еквівалентність складної облікової d і відсоткової і ставок

З рівності множників нарощення маємо:

Звідси:

(53)

Бачимо, що еквівалентність не залежить від терміну n.

Еквівалентність складної облікової d і номінальної j ставок

З рівності множників нарощення маємо:

Звідси:

(54)

Нагадаємо, що раніш були виведенні формули еквівалентних звичайних і точних відсотків, ефективної і номінальної ставок.

Заміна в умовах контракту однієї ставки іншою є зміною умов контракту. Зміною умов контракту є наприклад консолідація платежів, дострокове погашення позики, пролонгація позики і інші.

При зміні умов контрактів використовується принцип фінансової еквівалентності.

Цей принцип передбачає незмінність фінансових відносин сторін до і після зміни умов.

При цьому еквівалентними вважаються платежі, які стають рівними при зведенні за заданою відсотковою ставкою до одного моменту часу.

Зведення до одного моменту часу здійснюється дисконтуванням або нарощенням.

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 99; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!