Формула Релея-Джинса. Квантування енергії випромінювання. Формула Планка. Оптична пірометрія

Перед вченими постала проблема математичного опису експериментальних даних, які отримані при вивченні випромінювання абсолютно чорного тіла.

Відносно законів класичної електродинаміки і законів рівномірного розподілу енергії за ступенями вільності, на кожну ступінь вільності (електрична і магнітна складова) припадає енергія, рівна kT, де k − стала Больцмана. Спочатку Релей, а потім Джинс вивели для випромінювальної здатності таку формулу:

– формула Релея-Джинса.

В інтервалі довжин від l до l + Dl формула Релея матиме вигляд:

,

де с – швидкість світла у вакуумі, k – стала Больцмана.

Формула Релея давала правильні значення для ε (l, Т) в області великих довжин хвиль (або малих частот), але приводила до абсурдного результату при обчисленні інтегральної випромінювальної здатності (повної) (рис. 1.4). Виходило, що

Усі ці труднощі в науці образно називали “ультрафіолетовою катастрофою”.

У 1900 році Макс Планк заклав основи нової, квантової теорії випромінювання. Він висунув гіпотезу, що енергія атомного осцилятора може набувати лише цілком певних, дискретних значень, а тому його випромінювання повинне проходити не неперервно, а дискретно, тобто окремими порціями, квантами. Енергія кванта має бути пропорційна частоті:

,

де h – стала Планка ( Дж×с).

З цих припущень, Планку вдалося вивести для ε (n, Т) формулу, яка добре узгоджується з дослідними даними.

Макс Планк використав ці уявлення і отримав формулу для випромінювальної здатності в одиничному інтервалі частот у вигляді:

, (1)

де h – стала Планка ( Дж×с), k – стала Больцмана ( Дж/К).

Використаємо такі перетворення: , – стала Дірака ( Дж×с). Тоді

. (1а)

В інтервалі частот від n до n + dn (1а) записують так:

.

Формулу Планка інакше називають законом розподілу спектральної потужності рівноважного випромінювання з одиниці поверхні абсолютно чорного тіла у тілесний кут 2p залежно від температури Т.

Обчислимо повну енергію випромінювання АЧТ при температурі Т. Для цього проінтегруємо вираз за частотою від 0 до :

;

зробивши заміни

; ; ,

дістаємо

,

де останній невизначений інтеграл виражає число, що дорівнює . Отриманий вираз показує, що повна енергія випромінювання пропорційна четвертій степені абсолютної температури тіла. Це свідчить про спроможність теорії теоретично отримати закон Стефана-Больцмана. Тобто

.

Закон Віна дістають при розв’язанні задачі на знаходження максимуму для функції ε (n, Т). Для цього потрібно першу похідну від ε (n, Т) по n прирівняти до нуля і з останньої рівності знайти n_max.

На кінець знайдемо значення сталої в законі зміщення Віна. Для цього продиференціюємо функцію (1а) по і прирівняємо отриманий вираз до нуля:

.

Позначивши , отримаємо рівняння:

.

Розв’язання цього трансцендентного рівняння дає . Отже, , звідки

.

Підстановка числових значень , і дає для величину, яка співпадає з , що є експериментальним значенням закону зміщення Віна.

Таким чином, формула Планка дає вичерпний опис рівноважного теплового випромінювання.

Для великих довжин хвиль виконується закон Релея-Джинса, тобто результат експерименту повністю співпадає з формулою Планка.

На засіданні Німецького фізичного товариства 14 грудня 1900 року Макс Планк зробив доповідь, подавши теоретичне доведення формули , яке ґрунтується на квантовій гіпотезі. Ця сформульована Планком ідея згодом розвинулася в глибоку теорію.

14 грудня 1900 р. вважається днем народження нової –
квантової – фізики

За великий внесок М. Планка в розвиток квантової фізики А. Ейнштейн назвав універсальну сталу h – найважливішу константу квантової фізики – сталою Планка, .

Дата добавления: 2017-02-01; Просмотров: 128; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!