Нормально распределенные случайные числа

Задачи для практических занятий и самостоятельной работы

8.5.2.1. Произвести обработку наблюдений над системой заданного числа нормально распределенных случайных величин

Имеется система случайных величин . Над системой произведено независимых наблюдений; результаты этих наблюдений оформлены в виде таблицы, каждая строка которой содержит значений, принятых случайными величинами в одном наблюдении (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Таблица наблюдений

В табл. 8.1 –это значение, принятое величиной в -наблюдении. В табл.8.2 приведены числа , которые можно рассматривать как реализации независимых нормально распределенных величин с параметрами , .

Таблица 8.2

№		№		№
1.	0,464	13.	-1,010	25.	0,225
2.	0,060	14.	-0,005	26.	1,678
3.	1,486	15.	1,393	27.	-0,15
4.	1,022	16.	0,137	28.	0,598
5.	1,394	17.	-2,256	29.	-0,899
6.	0,906	18.	-0,354	30.	-1,163
7.	1,179	19.	-0,472	31.	2,455
8.	-1,501	20.	-0,555	32.	-0,531
9.	-0,69	21.	-0,513	33.	-0,634
10.	1,372	22.	-1,055	34.	1,279
11.	-0,482	23.	-0,488	35.	0,046
12.	-1,376	24.	0,756	36.	-0,525

Для получения нормально распределенных случайных величин с произвольными значениями необходимо сделать пересчет по формуле

.

Для получения коррелированных величин с произвольными значениями необходимо воспользоваться формулой:

,

где – произвольные постоянные коэффициенты.

Требуется найти оценки для числовых характеристик системы: математических ожиданий , элементов ковариационной матрицы { }, элементов нормированной корреляционной матрицы . Оценки для математических ожиданий найдутся как средние арифметические

, ;

несмещенные оценки для дисперсий определятся по формулам

,

для корреляционных моментов – по формулам

.

По этим данным определяются оценки для элементов нормированной корреляционной матрицы

.

где ; .

8.5.2.2. Определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область -мерного пространства

Вероятность выражается -кратным интегралом по области

.

В случае, если нормально распределенные случайные величины независимы, а область представляет собой -мерный прямоугольный параллелепипед со сторонами, параллельными координатным осям, то вероятность попадания случайной точки в эту область выражается через функцию Лапласа:

,

где , – координаты границ прямоугольного параллелепипеда в направлении оси ; , – математическое ожидание и с.к.о. случайной величины , – функция Лапласа.

8.2.1. Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40)

Гипотеза H₀: ,

где – оценка вектора выборочного среднего;

где – вектор математического ожидания.

Гипотеза Н₁: .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: многомерный нормальный закон распределения. Его плотность записывается в виде

,

где , – определитель матрицы K.

, .

Статистика: .

Закон распределения статистики U – -распределение с числом степеней свободы k = n.

Доверительную область можно получать в n-мерном пространстве в виде .

Эта область представляет собой эллипсоид (в двумерном случае – эллипс).

Пример 8.1. По данным контрольных замеров деталей (табл. 8.2), изготовленных на десяти станках (n1 = 10), проверить гипотезу с уровнем значимости о соответствии средних измеряемых параметров деталей X₁, X₂, X₃ (n = 3) контрольным значениям ; ; .

Ковариационная матрица считается известной

.

Исходная информация для сравнения параметров Таблица 8.3

Решение. Исходя из условия задачи, требуется проверить гипотезу H0:

.

Получим неравенство , т.е. гипотеза Н₀ отвергается с вероятностью ошибки 0,95.

Таким образом, средние уровни измеряемых параметров деталей не соответствуют контрольным цифрам.

8.2.2. Проверка гипотезы о векторе математического ожидания контролируемых параметров большой партии изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40)

В отличие от случая 8.5.2 используется статистика Хоттелинга: , где – выборочная ковариационная матрица с элементами , где – значение параметра i в v эксперименте.

Закон распределения статистики – F-распределение с n (для числителя) и n₁ – 1 (для знаменателя) степенями свободы.

Доверительную область можно получить в n-мерном пространстве в виде

.

Это снова эллипсоид.

Пример 8.2. В условиях предыдущего примера решить задачу при неизвестной ковариационной матрице.

Решение. Требуется проверить гипотезу H0: против H1: .

Прежде всего, находим оценку ковариационной матрицы:

.

Значение функции F-распределения .

Получаем соотношение , которое говорит о том, что гипотеза Н0 и в этом случае отвергается с вероятностью 0,95.

8.2.3. Проверка гипотезы о средних значениях n контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и известной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40; n2 = 40)

Гипотеза H₀: ,

Гипотеза H₁: .

Вид выборки: любая – большая, малая.

Закон распределения: многомерные нормальные законы распределения , .

Статистика: .

Закон распределения статистики U - -распределение с числом степеней свободы k = n.

Доверительная область определяется условием

.

Эта область представляет собой эллипсоид.

8.2.4. Проверка гипотезы о средних значениях n контролируемых параметров двух больших партий изделий с нормальным законом распределения и неизвестной ковариационной матрицей по выборке малого объема (n1 = 40; n2 = 40)

В отличие от случая 8.5.3 используется статистика:

,

.

Здесь , – ковариационные матрицы партий № 1, № 2.

Закон распределения статистики U – F-распределение с n (для числителя) и (n₁ + n₂ – n – 1) (для знаменателя) степенями свободы.

Доверительную область получим из условия:

.

Как и ранее, это снова эллипсоид.

Подробные таблицы математической статистики можно взять из учебного пособия [1].

8.3. Методические рекомендации к теоретическому разделу 1.

Целесообразно при оценивании параметров распределений формируемых статистик отследить влияние на точность оценок размера выборки. Следует при этом убедиться, что при переходе к интервальному (доверительному) оцениванию точность оценок не повышается. Такой прием (интервальное оценивание) позволяет знать точность и надежность (достоверность) оценки и не более.

Одним из путей повышения точности оценок является увеличение объема выборки n₁.

Дата добавления: 2017-01-14; Просмотров: 205; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!