Локальная теорема Лапласа. Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если , то для отыскания вероятности надо вычислить значение выражения

Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема 3.1. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции

при .

Существуют таблицы, которые содержат значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента . Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция четна, т. е. .

Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз,

где .

Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение :

По таблице прил, 1 находим . Искомая вероятность

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):

Дата добавления: 2015-07-02; Просмотров: 690; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!