Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле

Эта сила равна = I( ) или = /c ,

где с — электродинамическая постоянная, — вектор силы тока, протекающего в проводнике, — вектор напряженности магнитного поля, в котором движется проводник, — сила, действующая на проводник длиной (направление вектора совпадает с направлением тока), — сила, действующая на проводник единичной длины (рис. 1.17).

Некоторые характеристики электромагнитных по­лей. В процессе исследования закономерностей распространения элек­тромагнитных волн в однородной изотропной среде можно с помощью векторного произведения определить такие векторные величины, как скорость распространения волны: = , где

и - векторы напряженностей соответственно электрического и магнитного полей; вектор плотности потока энергии, переносимой полем (вектор Пойнтинга): = ( ) = ,

где с — скорость распространения электромагнитных волн в пустоте (рис. 1.18, б). Формула справедлива в смешанной или гауссовой систе­ме единиц.

Скорость произвольной точки вращающегося тела. Ес­ли тело вращается относительно неподвижной точки О (рис. 1.19),то в любой момент времени вектор угловой скорости вращения совпадает по направлению с мгновенной осью вращения и, проходящей через не­подвижную точку О. В этом случае линейную скорость произвольной точки М тела, расположенной вне оси и, можно определить с помощью векторного произведения векторов и : = , | |= | | | |sin .

Гироскопические эффекты. Гироскопом называется осесимметричное твердое тело, вращающееся относительно своей единственной неподвижной точки О, расположенной на оси симметрии (рис. 1.20, а). Вращательное движение относительно неподвижной точки можно представить в виде суммы трех независимых друг от друга движений-вращений относительно трех пересекающихся в неподвижной точке осей. Гироскоп, обладающий этими тремя движениями (тремя степе­нями свободы), называется т р е х с т е п е н н ы м или свобод н ы м. Он обладает замечательным свойством: если момент М всех внешних сил, действующих на его ротор, относительно неподвижной точки О равен нулю, то гироскоп сохраняет в пространстве положение оси собственного вращения (оси симметрии, или собственной оси).

Попытка внешними силами возбудить вынужденное движение (прецессию) собственной оси гироскопа ведет к появлению так называе­мого гироскопического момента, который определяется через векторное произведение угловых скоростей собственного и вынужденного движений:

= I ( ).

Здесь I — момент инерции ротора гироскопа относительно собствен­ной оси Oz.

Под воздействием момента внешней возмущающей силы ось ги­роскопа поворачивается, стремясь совпасть с направлением вектора момента внешних сил. При этом точка А приложения силы движется (рис. 1.20, б) не в направлении действия силы, а в направлении век­тора момента () этой силы относительно неподвижной точки О.

Если же прецессия гироскопа ограничена или невозможна, то пара сил, соответствующая гироскопическому моменту, обусловливает дополнительные нагрузки на опоры ротора гироскопа

N = = sin

где — угол между векторами и (рис. 1.21). С этими дополнительными нагрузками нельзя не считаться, так как в ряде случаев они могут преобладать над всеми остальными.

Благодаря своему свойству сохранять положение оси в пространстве гироскоп имеет весьма многочисленные технические приме­нения.

Кроме того, очень важно, что гироскопическим эффектом обладают не только собственно гироскопы, но и все вообще быстро вращающиеся твердые тела, например роторы машин, приборов, аппаратов и других подвижных систем.

Изучение основных проблем, связанных с движением гироскопиче­ских систем, является предметом специальной науки — теории гиро­скопов. Эта наука в качестве математического аппарата широко ис­пользует простое и кратное (двойное) векторные произведения. Рас­смотрим конкретные примеры.

1. Пусть мотоцикл (или любой другой двухколесный вид транспорта с управляемым передним колесом) входит на криволинейный участок пути (вираж) с заданием крена во внутреннюю сторону виража (рис. 1.22).

Поскольку колеса имеют собственную угловую скорость = и с появ­лением крена получают вместе с рамой мотоцикла принудительное вращение с угловой скоростью = (на рис. 1.22 направления и следует принять согласно правилу левого винта), то на них с появлением вращения по крену начинает действовать гироскопический момент = I ( ) = M , где I — момент инерции колеса относительно собственной оси вращения, который обеспечивает поворот рулевой колонки в нужную сторону (в направлении входа в вираж) даже тогда, когда водитель выпустит руль из рук, но будет координировать крен.

В результате входа в вираж появляется центробежная сила, направленная во внешнюю сторону виража и предупреждающая чрезмерное увеличение крена во внутреннюю его сторону.

Таким образом, гироскопический эффект обеспечивает связь движений и спо­собствует нормальному управлению мотоциклом.

Этот эффект обеспечивает принципиальную возможность вождения такого вида транспорта с отпущенным рулем, выполнения ряда цирковых номеров и т. д. при соответствующей координации движений.

Предлагаем читателю самостоятельно рассмотреть характер движения двух­колесного вида транспорта с поворотным задним колесом.

2. Пусть двигатель летательного аппарата (рис. 1.23) вращается с угловой скоростью , а сам аппарат вынужденно движется по некоторой кривой (вираж, спираль, штопор), то есть вращается с = относительно оси Оу. Тогда век­торное произведение определяет соответствующее угловое ускорение = . В результате появляется гироскопический момент

= = - I = I = I ( ). Угловая скорость достаточно велика. Поэтому и гироскопический мо­мент также значителен. Физическое воздействие этого момента таково, что он способствует, в зависимости от направления , либо вводу в пикирование, либо выводу из него. Это, в свою очередь, приводит к тому, что из одного штопора (с переходом в пикирование) самолет выводится лучше, а из другого — хуже.

3. Пусть ротор турбины, установленной на плавательном аппарате, вращается с угловой скоростью (рис. 1.24). При развороте этого аппарата с угловой скоростью возникает гироскопический момент = = - I = I = I ( ). В результате его действия появляются силы дополнительного давления на опоры N = , при этом = .

Если корпус аппарата сравнительно легок, а гироско­пическая пара сил достаточно велика, то эти силы, передаваясь на корпус, обу­словливают крен во внутреннюю сторону циркуляции.

Изменение направления с этой точки зрения нежелательно, потому что тогда возникает дополнительный крен во внешнюю сторону циркуляции.

4.4. Двойное векторное произведение. Решение многих задач ди­намики тела с одной неподвижной точкой и задач гироскопии связано с последовательным вычислением нескольких векторных произведе­ний. Такой процесс решения приводит к понятию кратных векторных произведений, например, двойного векторного произведения.

Задачи, приводящие к двойному векторному произве­дению. Вычисление кинетического момента тела. При определении момента количества движения (кинетического мо­мента) тела с одной неподвижной точкой (рис. 1.25) имеем количе­ство движения некоторой материальной точки М (дискретной массы m сосредоточенной в точке М ): m . Момент количества движения этой массы: = (m ). Здесь скорость движения точки М, равна = . Следовательно, = m ( ) определяется через двойное векторное произведение ( ), а момент количества движения системы n материальных точек

= = .

Вычисление гироскопического момента двухстепенного гироскопа. Двухстепенный гироскоп применяют в качестве пассивного или активного стабилизатора поло­жения основания, на котором он установлен. Это свойство использова­но в проектах монорельсовой железной дороги (пассивный стабилиза­тор), успокоителя качки судов (пассивный или активный стабилиза­тор) и т. п.

Так, при появлении крена платформы и связанного с ним вынуж­денного движения (прецессии) ротора пассивного стабилизатора (рис. 1.26) с частотой = возникает угловое ускорение = = . Согласно приближенной теории гироскопа, ему соот­ветствует гироскопический момент = = -I , который, в свою очередь, возбуждает вторичное движение с некоторой угловой скоростью = , связанной с , линейной зависимостью = — (скалярный множитель = t измеряется в единицах времени).

Тогда взаимодействие движений с угловыми скоростями = и = приводит к появлению углового ускорения

= = = — ( ) = ( ), которому соответствует момент сил инерции (гироскопический), обу­словленный возбужденным вторичным движением, вычисляемый так же, как и ускорение , с помощью двойного векторного произведения

= = — I = — I ( ).

Физическое направление действия этого момента таково, что он стабилизирует положение внешней рамки подвеса, а следовательно, и основания, на котором закреплена рамка. Этот эффект можно полу­чить всегда, кроме того случая, когда оси собственного вращения и прецессии параллельны. При этом = = 0 и по­тому гироскопические моменты не возникают.

Схема активной стабилизации отличается от рассмотренной выше схемы пассивной стабилизации тем, что прецессия может возбуждаться специальным управляющим устройством таким образом, чтобы гиро­скопический момент находился в противофазе с угловой ско­ростью платформы и полностью компенсировал внешние возмуще­ния.

Наконец, возможна такая схема гиростабилизации, где гироскоп является только датчиком сигнала рассогласования, а удержание платформы в исходном ориентированном состоянии осуществляется специальными двигателями за счет внешних источников энергии.

Стабилизаторы активного и пассивного типа широко применяются в системах автоматического управления, в военной, космической и других видах современной техники.

1. В игpe по перетягиванию каната участвуют 4 человека. Двое из них тянут в одну сторону с силами 330 Н и 380 Н, а два - в другую с силами 300 Н и 400 Н. В каком направлении будет двигаться канат и как велика сила, двигающая его?

2. Сила тяги тепловоза 120 000 Н, а сила сопротивле­ния 110 кН. Определите равнодействующую силу.

3. Может ли числовое значение равнодействующей силы быть меньше числовых значений составляющих сил? Ответ поясни­те примерами.

4. На тело действуют 4 силы: 15 Н, 77 Н, 89 Н, 120 Н. Найдите их равнодействующую, если известно, что первые две силы направлены в одну сторону, а остальные по той же прямой в противоположную сторону.

5. Пять сил: 600 Н, 250 Н, 750 Н, 100 Н и 300 Н дей­ствуют на точку тела по одной прямой. Может ли величина равнодействующей быть равной 1,2 кН, 100H, нулю? Что для этого необходимо?

6. Подъемный кран движется v скоростью и поднимает груз cо скоростью v . Какую фигуру представляет траектория груза?

7. Тело движется со скоростью 10 м/с под углом 30 к го­ризонтали. С какой скоростью тело поднимается вертикально вверх к с какой скоростью движется тень тела по земле, если солнце находится в зените?

8. Тело весом 30 Н находятся на наклонной плоскости. Найти какая сила скатывает его с наклонной плоскости и с какой силой нормально давит это тело на нее, если угол наклона пло­скости 60.

9. Из точки, данной на берегу реки, отправляется к противоположному берегу катер со скоростью 40 км/ч. Скорость те­чения реки 5 км/ч. В каком направлении следует плыть катеру, чтобы приплыть в ближайшую точку противоположного берега река? Задачу решить графически.

10. Паpaшютист спускается к земле со скоростью 2 м/с. Скорость ветра равна 3 м/с. С какой скоростью движется парашю­тист?

11. Почему в безветренную дождливую погоду мы наклоняем зонтик вперед?

12. Почему в безветренную дождливую погоду капли дождя на окне движущегося поезда оставляют не вертикальные следы?

13. Вычислите работу, произведенную силой F=(5; 2; 1), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из начала координат в точку А(2; 1; 4).

14. Вычислите, какую работу производит сила F=(3; 2; 4). если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положе­ния А(2; —5; 4) в положение В(7; —1; 3).

15. При проектировании механизма его звенья обозна­чают векторами. Их сумма определяет условие замкнутости механизма. Записать условие замкнутости для схемы четы­рехзначного механизма, изображенного на рис. 2.

16. Определить опорные реакции в шарнирах стержне­вой системы А ВС (рис. 3), один из стержней которой нагру­жен посредине силой Р = 2 т, причем АС = С В, = 30°. Весом стержня пренебрегаем.

17. На рис. 4 изображена решетчатая ферма, служащая для перекрытия заводских зданий. Во избежание вредных напряжений, которые могут возникнуть в ферме при колеба­ниях температуры, одна из опор делается

свободной (на катках). Пусть давление ветра на левый скат фермы выражается при выбранном масштабе вектором , направленным к горизонту. Определить реакции опор, испы­тываемые фермой под давлением ветра.

18. Тело весом g кг перемещается вверх по наклонной плоскости образующей с горизонтальной плоскостью угол. Найти силу Р, которая действует под углом к наклон­яй плоски и может сдвинуть тело с места, учитывая трение.

19. Точка О подвергается растяжению по трем взаимно перпендикулярным направлениям. Приняв эту точку за начало координат, а упомянутые направления за на­правления координатных осей обозначив соответствующие осям напряжения через . Пусть перпендикуляр к произвольной плоскости, проходящей через точку О, составляет с осями координат углы . Определить пол­ное напряжение Р, действующее в точке О на эту плоскость.

20. Сила тяги вертолета образует с направлением ветра угол в 40°. Отношение скорости движения вертолета к ско­рости ветра равно 6. Найти угол между направлением дви­жения вертолета и направлением ветра.

21. Однородный стержень массой 3 кг прикреплен своим нижним концом к шарниру. К другому его концу подвешен груз массой 2 кг. Стержень удерживается в равновесии го­ризонтальной оттяжкой, прикрепленной к неподвижной вертикальной стойке. Вычислить силу натяжения оттяжки, если длина вертикальной стойки 1,4 м, а длина горизонталь­ной оттяжки 0,5 м.

22. Для всякой точки М твердого тела скорость опре­деляется формулой Эйлера = , где — угловая скорость вращения, а г — расстояние от точки М до точки О оси вращения, в которой приложен скользящий вектор . Найти линейную скорость вращения точек волчка, лежащих на окружности большого диаметра, равного 20, если = {—3, 2, 4} и вектор приложен в центре большой окруж­ности.

Ответы к задачам 15-22.

15. Векторное уравнение замкнутости: . Проектируя на оси координат, получим систему уравнений в проекциях:

16. На стержень ВС действуют две силы, равные по величине и, противоположные по направлению. Сила , с которой стержень ВС действует на точку С стержня АС, направлена вдоль ВС. Силы и пересекутся в точке D. По теореме о трех непараллельных силах через эту точку пройдет и направление реакции в точке А. Из силового треугольника А СВ, по теореме синусов,

.

Из равнобедренного треугольника CDE: DC = AC.

Из треугольника ACD:

.

При = 30°, ctg ф = 0, ф = 90° получим:

N = 2 cos 30° = 1,73 т, N = т.

17. Разложим силу на две составляющие: — перпендикулярную к кровле, и — параллельную ей. Вторая составляющая на ферму действия не окажет, ибо ветер будет скользить по кровле. Реакция левой подвижной опоры будет направлена перпендикулярно опорной плоскости, так как ничто не мешает ей перемещаться влево и вправо. Продолжив направление силы до пересечения с направлением реакции левой опоры в точке С, соединим эту точку с центром правой опоры В. Получим направление второй реакции. Разложим вектор = на составляющие Т'треугольника ФСВ-42

и . Реакции будут равны этим составляющим и направлены противоположно им.

18. Р = ,

где (угол трения) — угол между направлением равнодействующей реакции опоры и нормалью к поверхности; tg = . — коэффициент трения.

19. Для определения составляющей усилия вдоль оси ОХ выделим на плоскости площадку F и построим цилиндр с основанием F и oбpaзующей, параллельной оси ОХ. Тогда проекция на плоскость, перпендикулярную оси ОХ, будет равна Fcos , усилие Fcos , а напряже­ние Р = cos . Аналогично Р = cos и Р = cos . Пол­ное напряжение Р =

20. 34°.

21. , F = 12,25Н

22. = R (cos • + cos • + cosy • ).

= =10 ((2cos -4 cos )• + (3cos +4 cos )• - (3cos +2 cos )• ).

23. В каких явлениях, изображенных на рисунке 8, результат действия силы зависит от положения точки приложения? от направле­ния действия силы?

Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 1065; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!