Определение линейного векторного пространства

Из курса аналитической геометрии известно, что любая точка плоскости (при заданной системе координат) определяется двумя координатами, т.е. упорядоченной парой двух вещественных чисел, аналогично и любой вектор на плоскости. Любая точка трёхмерного пространства определяется тремя координатами, а вектор, в пространстве, тремя компонентами. Однако в геометрии, механике и физике приходится изучать такие объекты, для задания которых недостаточно трёх вещественных чисел.

Рассмотрим совокупность шаров в трёхмерном пространстве. Для того, чтобы шар был полностью определён нужно задать координаты его центра и радиус, т.е. задать упорядоченный набор четырёх вещественных чисел, из которых последнее – R – может принимать только положительные значения.

Рассмотрим различные положения твёрдого тела в пространстве. Для его определения нужны: - координаты центра тяжести (3 числа); - направление некоторой фиксирующей оси, проходящей через центр тяжести (2 числа – 2 из 3-х направляющих косинусов) и угол поворота вокруг этой оси. Т.е. система из 6 вещественных чисел.

Эти примеры указывают на целесообразность рассмотрения совокупности всевозможных упорядоченных систем из n совокупностей вещественных чисел.

Введём некоторые понятия.

Упорядоченный набор n чисел , называется n- мерным вектором; где , () – координаты вектора . Целесообразно дать «бескоординатное» определение векторного пространства, не требующее задания векторов упорядоченными наборами чисел. Такое определение – аксиоматическое, в нем ничего не будет сказано о свойствах отдельного вектора, но будут перечислены свойства, которыми должны обладать операции над векторами.

Пусть Р – некоторое числовое поле (оно, в частности, может быть полем вещественных или полем комплексных чисел) и V – некоторое множество, природа элементов которого не важна. Условимся элементы множества V обозначать малыми латинскими буквами а, b, c,..., а числа из Р – малыми греческими буквами .

Пусть во множестве определены:

1) операция сложения, ставящая каждой паре элементов а, b из V в соответствие единственный элемент a+b того же множества V, называемый их суммой;

2) операция умножения на вещественное число, ставящая в однозначное соответствие числу из Р иэлементу а из V элемент того же множества V.

Определение: Элементы множества V будут называться векторами, а само V – вещественным линейным (или векторным) пространством, если для указанных операций (1, 2) выполняются следующие свойства, называемые аксиомами линейного пространства:

Доказательство: Докажем «от противного». Пусть наряду с существует , тогда , с другой стороны ■ (черный квадрат – квадрат Халмоша, в дальнейшем будет обозначать «что и требовалось доказать»).

3. Для всякого вектора а существует только один противоположный вектор – а.

Доказательство: Докажем «от противного». Пусть существует два противоположных элемента: и , т.е. и . Рассмотрим , с другой стороны , ■.

4. Из аксиом 1.-4. следует существование и единственность разности: .

Доказательство: В линейном пространстве V уравнение однозначно разрешимо для любых векторов а и b. Обозначим единственное решение этого уравнения через – разность векторов а и b. Действительно, есть решение уравнения , т.к. . Единственность решения: если — какое-нибудь решение уравнения , то прибавляя к обеим частям этого равенства противоположный вектор , получаем: , , , ■.

5. .

Доказательство: В самом деле, если произвольный вектор, то ■.

6. .

Доказательство: Если – произвольное число из поля Р, то ■.

7. Если , то или или .

Доказательство: Если , то существует : , если , то получим 6-е свойство ■.

8. .

Доказательство: , т.е. – противоположный элемент для ■.

9. .

Доказательство: , т.е. – противоположный элемент для ■.

10. .

11. .

В дальнейшем аксиомы 1.-8. и следствия 1.-11. будем использовать без оговорок.

Дата добавления: 2015-05-29; Просмотров: 1642; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!