Тема 10. Статистические методы изучения взаимосвязей 2 страница

Таким образом, мы получаем уравнение регрессии .

д) рассмотрим функцию равносторонней гиперболы:

. (70)

Для оценки параметров приведем уравнение к линейному виду при . Затем получим

Воспользуемся методом наименьших квадратов и получим систему уравнений:

Таблица 262 - Данные для уравнения связи и коэффициента корреляции

№ хозяйства
	17,3	0,025	0,4325	0,000625	17,39276	0,00860349	-0,53616
	17,9	0,0238095	0,42619	0,000567	18,0186	0,01406483	-0,66254
	21,2	0,0222222	0,47111	0,000494	18,85305	5,508179518	11,07052
	20,5	0,0208333	0,42708	0,000434	19,5832	0,84052988	4,472215
	21,2	0,0208333	0,44167	0,000434	19,5832	2,614055713	7,626435
	18,6	0,0163934	0,30492	0,000269	21,91727	11,00429439	-17,8348
	19,5	0,0153846	0,3	0,000237	22,44762	8,688454595	-15,116
	19,8	0,0151515	0,3	0,00023	22,57016	7,673789783	-13,9907
		0,0135135	0,32432	0,000183	23,43127	0,32345658	2,369718
	21,2	0,0133333	0,28267	0,000178	23,52599	5,410226379	-10,9716
	19,5	0,0126582	0,24684	0,00016	23,8809	19,19225154	-22,4661
		0,0119048	0,33333	0,000142	24,277	13,86074673	13,29644
	22,5	0,0117647	0,26471	0,000138	24,35063	3,424816156	-8,225
		0,0116279	0,27907	0,000135	24,42254	0,178541624	-1,76059
	24,5	0,0114943	0,28161	0,000132	24,4928	5,17738E-05	0,029369
	22,5	0,0105263	0,23684	0,000111	25,00165	6,258276422	-11,1185
	24,3	0,01	0,243	0,0001	25,27834	0,957153069	-4,0261
	30,5	0,01	0,305	0,0001	25,27834	27,26571227	17,12019
	28,5	0,01	0,285	0,0001	25,27834	10,37908027	11,30406
	29,6	0,01	0,296	0,0001	25,27834	18,67672787	14,6002
Итого	455,1	0,296451	6,48186	0,004868	454,862	142,2790129	-24,819

Получим систему нормальных уравнений:

Получаем уравнение регрессии:

Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 39).

Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:

Коэффициент детерминации составил 0,5075, таким образом, на 50,75% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 49,25 %.

Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:

Рис. 39. Результаты расчетов

Таким образом, мы получили те же значения. Небольшие различия объясняются округлением.

Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.

Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:

Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.

е) рассмотрим обратную функцию:

. (71)

Для оценки параметров приведем уравнение к линейному виду при . Затем получим

Воспользуемся методом наименьших квадратов и получим систему уравнений:

Таблица 263 - Данные для уравнения связи и коэффициента корреляции

№ хозяйства
	0,0578035		2,3121387		19,2678227	3,8723263	11,3747
	0,0558659		2,3463687		19,4174757	2,3027326	8,477518
	0,0471698		2,1226415		19,6463654	2,4137804	7,328465
	0,0487805		2,3414634		19,8807157	0,383513	3,020899
	0,0471698		2,2641509		19,8807157	1,740511	6,223039
	0,0537634		3,2795699		20,9643606	5,590201	12,71162
	0,0512821		3,3333333		21,3219616	3,3195441	9,343393
	0,0505051		3,3333333		21,4132762	2,6026602	8,14786
	0,0416667		3,0833333		22,172949	3,3381153	7,612712
	0,0471698		3,5377358		22,2717149	1,1485729	5,055259
	0,0512821		4,0512821		22,675737	10,085305	16,28583
	0,0357143				23,2018561	23,022184	17,13623
	0,0444444		3,7777778		23,3100233	0,6561378	3,600104
	0,0416667		3,5833333		23,4192037	0,3373243	2,419984
	0,0408163		3,5510204		23,5294118	0,9420415	3,961585
	0,0444444		4,2222222		24,4498778	3,8020232	8,666123
	0,0411523		4,1152263		25,0626566	0,5816452	3,138505
	0,0327869		3,2786885		25,0626566	29,564703	17,82736
	0,0350877		3,5087719		25,0626566	11,815329	12,06085
	0,0337838		3,3783784		25,0626566	20,587485	15,32886
Итого	0,9023554		64,42077		447,074094	128,10614	179,7209

Получим систему нормальных уравнений:

Получаем уравнение регрессии:

Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 40).

Таким образом, мы получили те же значения. Небольшие различия объясняются округлением.

Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:

Коэффициент детерминации составил 0,5565, таким образом, на 55,65% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 44,35 %.

Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:

Рис. 40. Результаты расчетов

Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.

Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:

Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.

ж) рассмотрим функцию:

. (72)

Воспользуемся программой Statgraphics (рис. 41) и получим уравнение регрессии: .

Таблица 264 - Данные для расчета коэффициентов

№ хозяйства
	17,3		17,309697	9,40261E-05	0,056050315
	17,9		17,70052	0,039792138	1,114411557
	21,2		18,271088	8,578526578	13,81562351
	20,5		18,824369	2,807738202	8,173808233
	21,2		18,824369	5,643621165	11,20580513
	18,6		21,054577	6,02494794	13,1966502
	19,5		21,694719	4,81679326	11,2549713
	19,8		21,851825	4,209986222	10,36275301
			23,070187	0,86455174	3,874219769
	21,2		23,217988	4,072274111	9,518809617
	19,5		23,800012	18,4901066	22,05134562
			24,508114	12,19326952	12,47102229
	22,5		24,647293	4,610867034	9,543524244

Продолжение таблицы 264

Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 41):

Рис. 41. Результаты расчетов

Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:

Коэффициент детерминации составил 0,5919, таким образом, на 59,19% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 40,81 %.

Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:

Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.

Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:

Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.

Теперь необходимо определить наиболее точную модель, учитывая коэффициенты детерминации и апроксимации. Так, уравнение регрессии наиболее точно отражает исходные данные. Так как коэффициент детерминации наибольший, а коэффициент апроксимации наименьший.

Задача 2. Имеются данные об урожайности картофеля, количество внесенных удобрений и доле высокосортных посевов (табл. 265). Определите показатели связи при множественной линейной зависимости расчетным путем с помощью инструмента анализа данных Регрессия и программы Statgraphics.

Таблица 265 - Данные для уравнения связи и коэффициента множественной корреляции

Номер хозяйства	Исходные данные	Расчетные данные
урожайность картофеля, ц/га ()	внесено органических удобрений, т/га ()	удельный вес высокосортных посевов, %
Итого

Исследование формы зависимости между указанными признаками позволяет сделать вывод, что связь может быть выражена при помощи линейного уравнения