Тема 10. Статистические методы изучения взаимосвязей 1 страница

Мы получили следующую функцию Коэффициент детерминации составил 0,62.

Коэффициент регрессии (параметр ), равный 0,1459, показывает, что с увеличением балла почвы на единицу урожайность в данных конкретных условиях возрастает на 0,1459 ц/га.

Определим тесноту связи между изучаемыми признаками, для чего рассчитаем коэффициент корреляции по формулам:

. (65)

(66)

Для определения коэффициента корреляции надо определить средние значения , , а также средние квадратические отклонения по результативному и факторному признакам. Все исходные и расчетные данные имеются в таблице 259.

,

, ,

Коэффициент парной линейной корреляции можно рассчитать и по другой формуле, если известен коэффициент регрессии:

Рассчитанный коэффициент корреляции показал существенную зависимость урожайности зерновых от качества почв. Коэффициент детерминации показывает, что на 25 % урожайность в данных условиях зависит от качества почвы, а на 75 % - от других факторов, которые не рассматривались в задаче.

Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:

Если возьмем коэффициент детерминации по данным рис. 30, то получим следующий F-критерий Фишера:

Этот расчет совпадает с рис. 30.

Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.

Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:

Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.

Решим эту задачи с помощью программы Statgraphics:

1) Откроем таблицу данных и введем значения;

2) В главном меню выберем Ralate/ Simple Regression;

3) Заполним поля у и х, нажмем на OK три раза (рис. 31…33) и получаем результат (рис. 34).

Рис. 31. Диалоговое окно Simple Regression

Рис. 32. Диалоговое окно Simple Regression Options

Рис. 33. Диалоговое окно Tables and Graphs

Рис. 34. Результаты расчетов

Определим эмпирическое корреляционное отношение по формуле:

или 78,68.

Определим теоретическое корреляционное отношение по формуле:

Таким образом, мы получили те же значения и уравнение регрессии составило: Из рисунка 34 видно, что случайные ошибки параметров и равны и . Эти значения указывают на величину, сформировавшуюся под воздействием случайных факторов. На их основе рассчитываются значения t-критерия Стьюдента: и . На основе Приложения 2 определим критические значения t-критерия Стьюдента для уровня значимости , т.е. с вероятностью 0,95 составит 2,1098, , т.е. с вероятностью 0,99 – 2,8982. Так как фактические значения больше теоретических (критических), то делаем вывод о существенности данных параметров ( и ), которые формируются под воздействием не случайных причин. Об это же свидетельствует показатель вероятности случайных значений параметров регрессии, так То есть вероятность случайно получить такое значение t-критерия Стьюдента составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5 %.

Чуть ниже на рис. 34 представлен расчет F-критерий Фишера, и он составляет 29,23. Согласно дисперсионному анализу вероятность получить случайно такое значение F-критерий Фишера составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5%.

Отсюда же берем нескорректированный коэффициент детерминации , который оценивает долю вариации результата в зависимости от факторов в общей вариации. Этот показатель показывает на достаточно высокую связь результата и от факторного признака. Скорректированный коэффициент детерминации оценивает тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий. Он дает такую оценку тесноты связи, которая не зависит от числа факторов в модели и поэтому может сравниваться по разным моделям с разным числом факторов.

Помощью инструмента анализа данных Регрессия получим следующие данные (рис. 35).

Рис. 35. Регрессионная статистика

Как видим из рис. 35 уравнение регрессии полностью совпадает.

б) рассмотрим степенную функцию:

(67)

Линеаризуем модель логарифмированием:

Пусть , ,

Тогда получим линейное уравнение: .

Для удобства расчетов заполним таблицу 260.

Таблица 260 - Данные для уравнения связи и индекса корреляции

№ хозяйства
	2,850707	3,688879	10,51591	8,126528	13,60783	2,879097	17,7982	0,248206	29,75703
	2,884801	3,73767	10,78243	8,322075	13,97017	2,898926	18,15464	0,064843	23,57103
	3,054001	3,806662	11,62555	9,326923	14,49068	2,926966	18,67089	6,39639	2,418025
	3,020425	3,871201	11,69267	9,122966	14,9862	2,953195	19,16709	1,776646	5,085025
	3,054001	3,871201	11,82265	9,326923	14,9862	2,953195	19,16709	4,132719	2,418025
	2,923162	4,110874	12,01675	8,544874	16,89928	3,0506	21,12802	6,390899	17,26403
	2,970414	4,174387	12,39966	8,823362	17,42551	3,076413	21,68049	4,754532	10,59503
	2,985682	4,189655	12,50898	8,914297	17,55321	3,082618	21,81543	4,061964	8,732025
	3,178054	4,304065	13,67855	10,10003	18,52498	3,129115	22,85375	1,313896	1,550025
	3,054001	4,317488	13,18561	9,326923	18,6407	3,13457	22,97876	3,16399	2,418025
	2,970414	4,369448	12,97907	8,823362	19,09207	3,155687	23,46916	15,75425	10,59503
	3,332205	4,430817	14,76439	11,10359	19,63214	3,180628	24,06187	15,5089	27,51003
	3,113515	4,442651	13,83226	9,693978	19,73715	3,185438	24,17787	2,81526	0,065025
	3,178054	4,454347	14,15616	10,10003	19,84121	3,190191	24,29307	0,085892	1,550025
	3,198673	4,465908	14,28498	10,23151	19,94434	3,19489	24,40748	0,00856	3,045025
	3,113515	4,553877	14,17857	9,693978	20,73779	3,230641	25,29587	7,816884	0,065025
	3,190476	4,60517	14,69269	10,17914	21,20759	3,251487	25,82872	2,336998	2,387025
	3,417727	4,60517	15,73921	11,68086	21,20759	3,251487	25,82872	21,82082	59,98503
	3,349904	4,60517	15,42688	11,22186	21,20759	3,251487	25,82872	7,135714	33,00503
	3,387774	4,60517	15,60128	11,47702	21,20759	3,251487	25,82872	14,22252	46,85403
Итого	62,22751	85,20981	265,8842	194,1402	364,8998	62,22812	452,4346	119,8099	288,8695
В среднем	3,111375	4,260491	13,29421	9,70701	18,24499	2,879097	17,7982		29,75703

Получим систему нормальных уравнений:

Коэффициент эластичности 0,4064 показывает, что с ростом качества почвы на 1 балл, урожайность зерновых возрастает на 0,41 ц/га.

Если решить эту систему через статистическую функцию ЛИНЕЙН в MS Excel получим следующее уравнение

Решим эту задачу с помощью программы Statgraphics (рис. 36).

Рис. 36. Результаты расчетов

Получаем уравнение регрессии Из рисунка 36 видно, что случайные ошибки параметров и равны и . Эти значения указывают на величину, сформировавшуюся под воздействием случайных факторов. На их основе рассчитываются значения t-критерия Стьюдента: и . На основе Приложения 2 определим критические значения t-критерия Стьюдента для уровня значимости , т.е. с вероятностью 0,95 составит 2,1098, , т.е. с вероятностью 0,99 – 2,8982. Так как фактические значения больше теоретических (критических), то делаем вывод о существенности данных параметров ( и ), которые формируются под воздействием не случайных причин. Об это же свидетельствует показатель вероятности случайных значений параметров регрессии, так То есть вероятность случайно получить такое значение t-критерия Стьюдента составляет 0,0000, что не превышает допустимый уровень значимости 5 %.

Тесноту связи определим, рассчитав индекс корреляции:

Коэффициент детерминации составил 0,5852, таким образом, на 58,52% вариации объясняется вариацией , на долю прочих факторов приходится 23,5 %.

Рассчитаем F-критерий Фишера по формуле:

Табличное значение F-критерий Фишера составило 4,41. Так как фактическое значение F превышает табличное, уравнение регрессии статистически значимо.

Чуть ниже (рис. 36) представлен расчет F-критерий Фишера, и он составляет 26,43. Согласно дисперсионному анализу вероятность получить случайно такое значение F-критерий Фишера составляет 0,0001, что не превышает допустимый уровень значимости 5%.

Определим среднюю ошибку апроксимации по формуле:

Этот показатель не выше 8 - 10 %, т.е. среднее отклонение расчетных и фактических данных не столь велико.

в) рассмотрим функцию экспоненты:

(68)

Для оценки параметров приведем уравнение к линейному виду:

Воспользуемся методом наименьших квадратов и получим систему уравнений:

Для удобства расчетов заполним таблицу 261.

Таблица 261 - Данные для уравнения связи и индекса корреляции

№ хозяйства
	0,0578		2,3121		114,0283	18,0970	0,6352	29,757	0,0461
	0,0559		2,3464		121,1616	18,3279	0,1831	23,571	0,0239
	0,0472		2,1226		137,4301	18,67984	6,3512	2,4180	0,1189
	0,0488		2,3415		144,9804	19,03853	2,1360	5,0850	0,0713
	0,0472		2,2642		146,5921	19,03853	4,6720	2,4180	0,1020
	0,0538		3,2796		178,3129	20,67416	4,302147	17,2640	0,1115
	0,0513		3,3333		193,0769	21,20516	2,90762	10,5950	0,0874
	0,0505		3,3333		197,055	21,34003	2,3717	8,7320	0,0778
	0,0417		3,0833		235,176	22,45032	2,4015	1,5500	0,0646
	0,0472		3,5378		229,0501	22,5931	1,9407	2,4180	0,0657
	0,0513		4,0513		234,6627	23,1734	13,4938	10,5950	0,1884
	0,0357				279,9052	23,9198	16,6484	27,5100	0,1457
	0,0444		3,7778		264,6488	24,0719	2,4708	0,0650	0,0699
	0,0417		3,5833		273,3126	24,2250	0,0506	1,5500	0,0094
	0,0408		3,5510		278,2846	24,3791	0,0146	3,0450	0,0049
	0,0444		4,2222		295,784	25,6475	9,9065	0,0650	0,1399
	0,0413		4,1152		319,0476	26,4735	4,7242	2,3870	0,0894
	0,0328		3,2787		341,7727	26,4735	16,2126	59,9850	0,1320
	0,0351		3,5088		334,9904	26,4735	4,1067	33,0050	0,0711
	0,0338		3,3784		338,7774	26,4735	9,7749	46,8540	0,1056
Итого	0,9024		64,4208		4658,049	452,7551	105,3042	288,8695	1,7255

Получим систему нормальных уравнений: