Теорема 12.1. Последовательность имеет предел A тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A

◄

1. Если множество значений, которые принимает последовательность конечное, т.е. , то хотя бы одно из значений , обозначим его , она принимает бесконечно много раз, т.е. существует бесконечное множество номеров таких, что . Поэтому , подпоследовательность искомая.

2. Рассмотрим теперь случай, когда множество значений бесконечно. Так как - бесконечное ограниченное множество, то по теореме 6.1 существует предельная точка этого множества, равная A. Покажем, что существует последовательность такая, что . По определению предельной точки, для существует номер такой, что . Положим . Существует такое, что . Точка , т.к. , а номер выбираем так, чтобы выполнялось неравенство , что можно сделать, так как в любой окрестности предельной точки содержится бесконечное число элементов этого множества. Далее, . Как и раньше, строим так, что и . Продолжая этот процесс, получаем последовательность такую, что , что означает, что .►

Определение 12.2. Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного существует такое , что для всех разность значений по модулю меньше , т.е. .