Виды уравнения прямой

Задание прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

Задание прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором.

Задание прямой через две точки.

Задание прямой с помощью точки и направляющего вектора.

Способы задания прямой

Уравнение линии

Лекция 6. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

План:

1. Уравнение линии на плоскости.
2. Способы задания прямой.

Задание прямой с помощью точки и направляющего вектора.

Задание прямой через две точки.

Задание прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором.

Задание прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом.

1. Виды уравнений прямой.

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k.

Каноническое уравнение прямой.

Параметрическое уравнение прямой.

1. Угол между двумя прямыми.
2. Расстояние от точки до прямой.

Уравнением линии на плоскости называется уравнение с двумя переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Пример 6.1. Определите, лежат ли точки А (2; 5) и В (1; 2,2) на линии, заданной уравнением 3 x – 5 y + 8 = 0.

Решение. Подставим в уравнение линии координаты точки А, получим:

3·2 – 5·5 + 8 ¹ 0, 6 – 25 + 8 ¹ 0.

Следовательно, точка А не принадлежит заданной линии.

Подставим в уравнение линии координаты точки В: 3·1 – 5·2,2 + 8 = 0; 11 – 11 = 0. Следовательно, точка В лежит на заданной линии.

Прямые – самые простые линии на плоскости. Им соответствуют и самые простые уравнения – уравнения первой степени.

Прямую на плоскости можно задать несколькими способами:

Направляющим вектором прямой l называется всякий ненулевой вектор параллельный этой прямой.

Любая прямая имеет бесконечное множество направляющих векторов, коллинеарных между собой.

Пусть задана точка , через которую проходит прямая l, и её направляющий вектор (рис. 6.1).

1. Выберем произвольную .

2. Найдем координаты вектора = (х-х₀; у-у₀).

3. Запишем направляющий вектор

4. Воспользуемся условием коллинеарности

векторов и ; их одноименные координаты Рис. 6.1

должны быть пропорциональны. Поэтому уравнение прямой имеет вид:

(1) - уравнение прямой, проходящей через точку с направляющим вектором

Пример 6.2. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (3;-2) и имеющей направляющий вектор

Решение: Подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пусть заданы две точки и . Через них можно провести прямую, и притом только одну. Составим уравнение прямой, проходящей через точки и .

Для этого (рис. 6.2):

1. Выберем на прямой l точку .

2. Найдем координаты вектора :

3. Найдем координаты направляющего вектора

4. Векторы и коллинеарны, так как лежат на одной прямой; следовательно, их координаты пропорциональны.

Искомое уравнение прямой имеет вид: (2) - уравнение прямой, проходящей через точки и .

Пример 6.3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (2; 3) и В (7; 5).

Решение: Подставив в формулу (2) координаты данных точек, получим искомое уравнение прямой: .

Ответ: l: .

Нормальным вектором прямой l называется любой ненулевой вектор перпендикулярный этой прямой.

Пусть заданы точка и нормальный вектор (рис.6.3).

Для составления уравнения прямой, проходящей через точку М₀ и имеющей нормальный вектор

1. Выберем на прямой l произвольную точку .

2. Найдем координаты вектора

3. Запишем координаты заданного нормального

4. Воспользуемся условием перпендикулярности векторов и их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Так как скалярное произведение векторов, заданных своими координатами, равно сумме произведений одноименных координат, то уравнение прямой l примет вид:

А(х-х₀) + В(у-у₀) = 0 (3) – уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором .

Пример 6.4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору = (-4; 5).

Решение: Вектор будет являться нормальным вектором данной прямой. Подставим в формулу (3) координаты точки А и вектора , получим искомое уравнение прямой:

-4×(х – 2) + 5×(у + 3) = 0;

-4 х + 8 + 5 у + 15 = 0.

Ответ: l: -4 х + 5 у + 23 = 0.

Пусть заданы точка и нормальный вектор . Тогда уравнение прямой, проходящей через точку с заданным нормальным вектором будет иметь вид:

А(х-х₀) + В(у-у₀) = 0.

Разделим каждое слагаемое на В 0.

, где k – угловой коэффициент прямой, равный тангенсу угла наклона α, образованной прямой с положительным направлением оси ОХ (рис. 6.4):

k = tg a.

Тогда (4) - уравнение прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом k.

Пример 6.5. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку M₀ (-3; 2) и образующей с положительным направлением оси ОХ угол

Решение: Найдём угловой коэффициент прямой: k = tg a.

k = tg ; k = 1.

Подставим k и координаты точки M₀ в уравнение (4):

Ответ:

Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 948; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!