КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Операции над векторами в координатах
|
|
|
|
| № | Вид операции | на плоскости | в пространстве |
| Координаты вектора | А (х1; у1); В (х2;у2)
| А (х1; у1; z1); В (х2; у2; z2)
| |
| Длина вектора | 
| 
| |
| Сложение и вычитание векторов |   ; 
|   ;
| |
| Умножение вектора на число |  ; 
|  ;
| |
| Скалярное произведение векторов | ; 
| ;
| |
| Угол между векторами | 
|
| |
| Координаты середины отрезка | А (х1; у1); В (х2;у2)
| А (х1; у1; z1); В (х2; у2; z2)
| |
| Расстояние между точками | А (х1; у1); В (х2;у2)
| А (х1; у1; z1); В (х2; у2; z2)
|
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 1. Если векторы 
и 
коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.
| на плоскости | в пространстве |
Если  = (х1; у1) и = (х2; у2) коллинеарны, то  .
| Если = (х1; у1; z1) и = (х2; у2; z2) коллинеарны, то  .
|
Теорема 2. Если ненулевые векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, и наоборот, если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны:
(
) 
.
Пример 5.1. Даны точки А (4;-3;1), В (-2;-9;3).
Найдите: 1) координаты вектора 
;
2) длину вектора ;
3) координаты точки М – середины АВ.
Решение:
1) Воспользуемся формулой нахождения координат вектора: 
.
Тогда 
; 
.
2) Зная координаты вектора , найдем его длину по формуле: 
.
.
3) Пусть точка М – середина отрезка АВ. Тогда ее координаты находятся по формуле: 
.
М 
; М (1; -6; 2).
Ответ: =(-6; -6; 2), 
, М (1; -6; 2).
Пример 5.2. Даны 
, 
.
Найдите: 1) 
;
2) 
;
3)
Решение:
1) Вектор 
задан в виде разложения по базисным векторам 
. Его координаты находятся как коэффициенты разложения вектора по базису: 
.
Найдем координаты векторов 
и 
по формуле: . Тогда
= (6; 10; – 4); = (12; 3; –21);
Воспользуемся формулой нахождения суммы и разности векторов: . Получим, что
= (6-12; 10-3; -4-(-21));
= (-6; 7; 17).
2) Воспользуемся формулой нахождения скалярного произведения векторов: 
.
Получим: 
;
;
.
3) Найдем косинус угла между векторами по формуле = 
.
= 
Ответ: 1) = (-6; 7; 17)
2)
3) =
Пример 5.3. При каком значении n векторы 
, 
1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?
Решение:
1) Воспользуемся теоремой 1: если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны. Получим, что
;
.
Следовательно, при n = – 4 векторы 
и коллинеарны.
2) Воспользуемся теоремой 2: если 
Þ –2 – 18 + 8 n = 0;
8 n = 20;
n = 
;
n = 
; n = 2,5.
Следовательно, при n =2,5 векторы и перпендикулярны
Ответ: 1) n = – 4; 2) n = 2,5.
Контрольные вопросы:
- Что называется вектором?
- Какие виды векторов существуют?
- Какие операции над векторами как над направленными отрезками можно выполнить?
- Как задается скалярное произведение векторов?
- Что называют линейной комбинацией векторов?
- Что называют базисом на плоскости и в пространстве?
- Какие векторы задают прямоугольную систему координат на плоскости и в пространстве?
- Что называют координатами вектора?
- Какие операции над векторами в координатах можно выполнять?
- Каков признак коллинеарности векторов?
- Сформулируйте признак перпендикулярности векторов.
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1210; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!