Правила вычисления двойных интегралов 1 страница

Основные свойства двойного интеграла

1. .

2. .

3. , где – площадь области интегрирования .

4. Если область интегрирования разбита на две области и , то

= + .

5. Оценка двойного интеграла. Если , то

.

Различают два основных вида области интегрирования.

1. Область интегрирования ограничена слева и справа прямыми , , а снизу и сверху – непрерывными кривыми , , каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (рис. 5).

Y

D

c X

Рис. 5

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором х считается постоянным.

2. Область интегрирования ограничена снизу и сверху прямыми , , а слева и справа – непрерывными кривыми , , каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 6).

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в котором у считается постоянным.

Правые части указанных формул называются повторными (или двукратными) интегралами

Y

d

с

X

Рис. 6

В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.

Пример 1. Вычислить , где область ограничена линиями .

Решение. Построим область . Из рисунка видно, что она принадлежит к первому виду.

Находим

.

Y

0 X

Рис. 7

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле .

Решение. Область интегрирования расположена между прямыми , ограничена снизу параболой , сверху прямой (рис. 8).

Так как правый участок границы области задан двумя линиями, то прямая разбивает ее на области и .

В результате получаем

.

Рис. 8

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение. По уравнениям границы области строим данную фигуру (рис.9). На основании свойства 3 двойных интегралов искомая площадь

.

Y

3

0 1 3 Х

Рис. 9

Задание 4

Представить двойной интеграл в виде повторного интеграла с внешним интегрированием по и внешним интегрированием по , если область задана указанными линиями.

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. .

4.8. .

4.9. .

4.10. .

4.11. .

4.12. .

4.13. .

4.14. .

4.15. .

4.16. .

4.17. .

4.18. .

4.19. .

4.20. .

4.21. .

4.22. .

4.23. .

4.24. .

4.25. .

4.26. .

4.27. .

4.28. .

4.29. .

4.30. .

Задание 5

Вычислить площадь плоской области , ограниченной заданными линиями.

5.1. .

5.2. .

5.3. .

5.4. .

5.5. .

5.6. .

5.7. .

5.8. .

5.9. .

5.10. .

5.11. .

5.12. .

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. .

5.17. .

5.18. .

5.19. .

5.20. .

5.21. .

5.22. .

5.23. .

5.24. .

5.25. .

5.26. .

5.27. .

5.28. .

5.29. .

5.30. .

Тема 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия и определения.

2. ДУ первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Общее и частное решение (интеграл).

3. ДУ с разделяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ первого порядка, уравнение Бернулли.

4. ДУ второго порядка. Задача Коши. Общее и частное решение (интеграл).

5. ДУ второго порядка, допускающие понижение порядка.

6. Линейные однородные ДУ второго порядка. Структура общего решения.

7. Линейные неоднородные ДУ второго порядка. Структура общего решения.

8. Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

5.1. Дифференциальные уравнения (ДУ).
Основные понятия и определения

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется соотношение вида

,

связывающее независимую переменную x, неизвестную функцию и ее производные .

Порядком ДУ называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Решением ДУ называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

5.2. Дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка может быть задано:

– в общем виде:

;

– в разрешенном относительно производной виде:

;

– с использованием дифференциалов:

.

Задача Коши для ДУ первого порядка имеет вид

, ,

т. е. из множества решений ДУ требуется выделить то, которое удовлетворяет дополнительному условию . Это условие называют начальным.

Функция называется общим решением ДУ первого порядка в области , если:

а) при любом допустимом значении константы С функция является решением ДУ;

б) для любой точки существует единственное допустимое значение , такое, что .

Частным решением ДУ называется любое решение которое может быть получено из общего при конкретном значении постоянной С (включая ).

Общее решение, заданное в неявной форме

,

называют общим интегралом. При конкретном равенство

,

задающее неявно частное решение ДУ, называют частным интегралом.

Рассмотрим некоторые ДУ первого порядка.

1. ДУ с разделяющимися переменными. ДУ имеет вид

,

если записано через дифференциалы, или

,

если оно разрешено относительно производной.

Разделив обе части первого уравнения на , получаем ДУ с разделенными переменными

.

Интегрируя обе части последнего уравнения, получаем общий интеграл исходного ДУ

.

2. Однородные ДУ первого порядка. В записи через дифференциалы ДУ имеет вид

,

где – однородные относительно функции одинакового порядка.

Замечание. Функция называется однородной относительно функцией порядка , если для любого имеет место .

Если однородное ДУ разрешено относительно производной, то оно имеет вид:

.

Подстановкой , где – новая неизвестная функция, однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции .

3. Линейные ДУ первого порядка. ДУ имеет вид

.

Общее решение линейного ДУ можно найти с помощью подстановки , где – новые неизвестные функции. После подстановки ДУ принимает вид

.

Поскольку одна из неизвестных функций может быть выбрана произвольно, то выберем так, чтобы последнее уравнение упростилось, а именно, чтобы . Для этого в качестве следует выбрать любое частное решение ДУ с разделяющимися переменными

,

например, . Тогда находят как общее решение ДУ

,

т. е. . Общее решение исходного уравнения

.

4. Уравнение Бернулли. ДУ имеет вид

,

где .

С помощью подстановки решение уравнения Бернулли, как и решение линейного ДУ, сводится к последовательному интегрированию двух ДУ с разделяющимися переменными.

Пример 5.1. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения .

Решение. Разрешаем ДУ относительно производной:

.

Правая часть ДУ имеет вид , следовательно, это уравнение с разделяющимися переменными. Переходим к дифференциалам, разделяем переменные и интегрируем:

,

,

– общее решение.

Пример 5.2. Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения .

Решение. Коэффициенты при дифференциалах являются однородными функциями второго порядка относительно x, y:

,

.

Следовательно, имеем однородное ДУ первого порядка. Применяем подстановку , где – новая неизвестная функция. Тогда

и ДУ принимает вид

,

.

Получили ДУ с разделяющимися переменными относительно неизвестной функции . Делим обе его части на и интегрируем:

,

,

,

.

Возвращаемся к исходным переменным, подставляя :

,

– общий интеграл.

Пример 5.3. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Это уравнение Бернулли . Применим подстановку , где – новые неизвестные функции.

,

.

Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1663; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!