КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Свойства неопределенного интеграла
|
|
|
|
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
Таблица основных неопределенных интегралов
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
5. 
6. 
;
7. 
;
8. 
;
9. 
;
10. 
, 
11. 
;
12. 
;
13. 
;
14. 
.
1.2. Основные методы интегрирования
1. Метод непосредственного интегрирования основан на свойствах 3, 4 и таблице неопределенных интегралов.
Пример 1.1. Вычислить 
.
Решение. Применяя свойства 3, 4 и таблицу, получаем:
= 
.
2. М етод подстановки или замены переменных основан на формулах:
, 
.
Пример 1.2. Вычислить 
.
Положим 
. Тогда 
. Сделаем замену
.
Пример 1.3. Вычислить 
.
Положим 
. Тогда 
. Сделаем замену
= 
.
3. Интегрирование по частям выполняется по формуле
,
полученной из равенства 
.
Пример 1.4. Вычислить 
.
.
Пример 1.5. Вычислить 
.
= 
.
Методы интегрирования основных классов функций (дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональных) можно найти в литературе [1], [2].
Задание 1
Найти неопределенные интегралы.
1.1. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.2. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.3. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.4. a) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.5. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.6. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.7. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.8. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.9. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.10. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.11. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.12. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.13. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.14. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.15. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.16. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.17. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.18. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.19. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.20. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.21. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
1.22. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.23. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.24. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) .
1.25. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) .
1.26. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.27. а) 
; б) 
; в) ;
г) 
; д) ; е) 
.
1.28. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.29. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
1.30. а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
; е) 
.
Тема 2. ОПРЕДЕЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Интегральной суммой функции 
на отрезке 
называется сумма 
, где 
, причем 
.
Если существует предел интегральной суммы при 
, не зависящий от способа разбиения отрезка на частичные отрезки 
и выбора промежуточных точек 
, то функция называется интегрируемой на этом отрезке, а сам предел – определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается 
.
Таким образом,
.
Если кусочно-непрерывна на , то она интегрируема на этом отрезке.
Пусть 
– одна из первообразных непрерывной на функции , тогда справедлива формула Ньютона–Лейбница
. (2.1)
Для любых 
.
Если функции 
и 
непрерывны вместе со своими производными на , то имеет место формула интегрирования по частям:
. (2.2)
Если функция непрерывна на , а функция 
непрерывно дифференцируема и строго возрастает на 
, то справедлива формула
, (2.3)
называемая формулой замены переменной в определенном интеграле.
Пример 2.1. Вычислить интегралы:
а) 
; б) 
.
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 424; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!