Устойчивость выборочных средних

6.Основные точечные оценки.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений над количественным признаком Х извлечена повторная выборка объема n со значениями признака …, . Не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения признака различными.

Пусть генеральная средняя неизвестна и требуется оценить ее по данным выборки.

В качестве оценки принимают .

Убедимся, что несмещенная оценка, т.е. математическое ожидание этой оценки равно .

Будем рассматривать , как случайную величину, и …, как независимые, одинаково распределенные случайные величины …, . Следовательно, эти величины имеют одинаковые математические ожидания .

Известно, что М () = M( ) = , i= . Следовательно,

M( ) = M() = . (1)

Т.к. каждая из величин , …, имеет то же распределение, что и генеральная совокупность (которую мы тоже рассматриваем как случайную величину), то числовые характеристики одинаковые, следовательно, математическое ожидание каждой из величин равно математическому ожиданию признака Х генеральной совокупности, т.е.

М(Х) = .

Заменив в формуле (1) на , получим:

M( )= .

Т. о., – несмещенная оценка генеральной средней.

Легко показать, что выборочная средняя является и состоятельной оценкой генеральной средней.

Действительно, допуская, что случайные величины …, имеют ограниченные дисперсии, применяем к этим величинам теорему Чебышёва (частный случай). Т.е. при увеличении n среднее арифметическое рассматриваемых величин, т.е. , стремится по вероятности к математическому ожиданию каждой из величин, или, что тоже самое, к генеральной средней (т.к. = ).