Визначення блочних матриць 3 страница

г) rg = n.

18. Для квадратної матриці існують також скалярні характеристики: слід матриці і її визначник (детермінант).

Слідом матриці розмірности (n × n) є сума елементів, що містяться на її головній діагоналі, тобто

Для сліду виконуються такі співвідношення:

а)

б) (А і В — матриці однакового порядку);

в) tr(AB) = tr(BA);

г) (коли А — симетрична);

д)

19. Детермінантом (визначником) квадратної матриці А n -го порядку називається алгебраїчна сума членів, кожний з яких містить n спів­множників, узятих по одному і лише по одному з кожного рядка (стовпця) визначника. Позначається:

det A або .

20. Визначник (n – 1)-го порядку, в якому викреслені і -й рядок і j -й стовпець, називається мінором елемента і позначається .

21. Мінор , який береться зі знаком , де і — номер рядка,
j — номер стовпця елементa , називається алгебраїчним доповненням цього елемента, а саме:

22. Визначник дорівнює сумі попарних добутків елементів будь-якого стовпця (рядка) на їх відповідні алгебраїчні доповнення:

23. Квадратна матриця, для якої , називається невиродженою. Кожна невироджена матриця має єдину обернену матрицю, для якої виконується:

Обернена матриця знаходиться з виразу

де J — приєднaна матриця.

24. Основні властивості оберненої матриці:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) .

25. Матриця, для якої , називається ортогональною.

26. Матриці, в яких елементами є окремі підматриці, називаються блоковими:

Розбиваючи матрицю на підматриці, слід додержувати таких правил:

— підматриці, що стоять поруч – і – — повинні мати однакову кількість рядків;

— підматриці, які стоять одна під одною – і – — повинні мати однакову кількість стовпців.

27. При додаванні (відніманні) блокових матриць, має насамперед виконуватись умова, що порядок відповідних матриць-доданків однаковий.

При множенні двох блокових матриць кількість стовпців першої матриці має дорівнювати кількості рядків другої матриці. З блоковими матрицями операцію множення виконують за тими самими правилами, що й зі звичайними матрицями.

28. Кронеккеровий добуток двох матриць

де ; .

Якщо матриця блокова, то .

29. Обернену блокову матрицю знаходимо за формулою Фробеніуса:

, (3.27)

де ;

30. Детермінант блокової матриці А

31. Система лінійних рівнянь в матричному вигляді записується АХ = В, дe

Якщо А — невироджена матриця, то розв’язок системи АХ = В знаходиться як

.

32. Система лінійних рівнянь АХ = 0, називається однорідною. Вона має нетривіальні розв’язки, якщо . Система рівнянь має нетривіальний розв’язок, якщо Останнє рівняння називають характеристичним рівнянням матриці А.

33. Корені рівняння є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними значеннями) матриці А.

34. Вектори X_k, які є розв’язком системи для відповідного характеристичного кореня , називаються власними векторами матриці А. Добуток

де Х — матриця власних векторів А;

— характеристичні корені матриці А.

35. Квадратична форма від n невідомих записується у вигляді:

У векторно-матричному запису квадратичну форму можна подати так:

,

де , А — симетрична матриця.

36. Якщо d — випадковий вектор, для якого виконується: , то — називається випадковою квадратичною формою. Для випадкової квадратичної форми

37. Якщо — симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень:

Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнююють або нулю, або одиниці. Матриця є ідемпотентна, причому ранг її дорівнює 1.

38. Градієнтом функції f (x), коли x = (x ₁, x ₂ ... x_n) є вектор

.

39. Якщо функція , то градієнт її

.

40. Градієнт квадратичної форми дорівнює .

3.12. Запитання та завдання для самостійної роботи

1. Задані матриці:

Знайдіть матриці суми (різниці): . Поясніть, чому не існує суми (різниці) матриць: .

2. Для матриць із завдання 1 знайдіть добутки: BA; CF; CK; AE; DE. Поясніть, чому не існує добутків AB; CD; FC; FB; KA; KE.

3. Для матриць із завдання 1 знайдіть транспоновані до них матриці.

4. Із множини матриць завдання 1 знайдіть симетричні. Яка ознака симетричної матриці?

5. Покажіть, що для матриць із завдання 1 справджується тотожність .

6. Яка матриця називається ідемпотентною? Покажіть, що матриця є ідемпотентною.

7. Назвіть скалярні характеристики матриць.

8. Покажіть, що для матриць А і С із завдання 1 ; .

9. Дано матрицю . Чому дорівнює слід (tr A) матриці А?

10. Для матриці А із завдання 9 покажіть, що .

11. Дано симетричну матрицю . Покажіть, що .

12. Знайдіть визначник матриці А із завдання 11.

13. Для матриці А із завдання 11 покажіть, що .

14. Яка матриця має обернену матрицю? Які з поданих далі матриць мають обернені:

15. Наведіть основні властивості оберненої матриці.

16. Задано матрицю , обернену до матриці А:

.

Покажіть, що .

17. Покажіть, що матриця

.

є ортогональною.

18. Задана систему лінійних рівнянь

Матриця, обернена до матриці системи,

.

Знайдіть розв’язок даної системи рівнянь.

19. Яка матриця називається блоковою?

20. Задано по чотири блоки блокових матриць А і В:

;

Знайдіть суму (різницю) блокових матриць .

21. Яка умова множення блокових матриць? З відповідних блоків матриць А і В з попереднього завдання складіть дві матриці, які можна було б помножити одна на одну.

22. Задано матриці

Знайдіть матрицю Кронеккeр-добутку (прямого множення) .

23. Задана блочна невироджена матриця

Знайдіть обернену матрицю .

24. Яке рівняння називають характеристичним рівняння матриці А?

25. Яку назву мають корені характеристичного рівняння?

26. Чому дорівнює добуток , де Х — власні вектори матриці А?

27. Знайдіть характеристичні корені і власні вектори матриці:

28. Дайте означення квадратичної форми. Запишіть її у розгорнутому вигляді і в матричній формі.

29. Коли квадратична форма є додатно визначеною і напіввизначеною?

30. Яку квадратичну форму називають випадковою квадратичною формою?

31. Чому дорівнює математичне сподівання випадкової квадратичної форми?

32. Сформулюйте властивості випадкової квадратичної форми.

3.13. Основні терміни і поняття

Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 567; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!