КАТЕГОРИИ:
Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)
Визначення блочних матриць 2 страница
|
|
|
|
Отже,
Розв’язок системи: 
= 1; 
= 3.
Розглянемо однорідну систему лінійних рівнянь:
АХ = 0 (3.34)
Нехай А — квадратна матриця n -го порядку; Х — вектор-стовпець розміру n × 1.
Тривіальний розв’язок має вигляд: 
. Нетривіальний розв’язок може існувати лише за умови, що визначник матриці А дорівнює нулю:
Коли це так, то система матиме безліч розв’язків. Їх можна нормувати, вимагаючи, наприклад, щоб виконувалася рівність
(3.35)
Приклад 3.6. Знайти нетривіальні розв’язки однорідної системи рівнянь.
(3.36)
, це означає, що задана система має нетривіальні розв’язки.
Матрицю А можна записати як систему трьох векторів:
Систему (3.36) подамо як лінійну комбінацію вектора 
:
(3.37)
Неважко побачити, що 
; розв’язками системи (3.36) будуть і ці самі значення, помножені на будь-які числа, які задовольняють рівняння (3.37). Отже, система векторів 
є лінійно залежною, причому розв’язки системи лінійних рівнянь (3.36) є коефіцієнтами лінійної комбінації вектора :
(3.38)
3. 8. Характеристичні (власні) корені
і власні вектори матриць
Розглянемо систему рівнянь
(3.39)
де 
— скаляр; А — квадратна матриця порядку n, X — розміром n × 1.
Систему (3.39) запишемо у вигляді
або
(3.40)
Остання система n рівнянь з n невідомими має нетривіальний розв’язок, коли
або 
(3.41)
Означення 3.21. Рівняння 
відносно 
називають характеристичним рівнянням матриці А.
Корені цього рівняння l є характеристичними коренями (характеристичними числами, власними значеннями) матриці А.
Візьмемо будь-який корінь 
характеристичного рівняння (3.41) і підставимо в систему рівнянь (3.40). Дістанемо рівняння
(3.42)
яке має нетривіальний розв’язок, оскільки .
Нехай цим розв’язком є вектор 
. Такий вектор є характеристичним, або власним, вектором матриці А, який відповідає характеристичному кореню 
.
Якщо матриця А має n різних характеристичних коренів, то припускатимемо, що вона має і n різних власних векторів (задачі, які мають кратні характеристичні корені, в економіці зустрічаються рідко).
Власні вектори визначаються з точністю до множення на скаляр. Це не завжди зручно. Тому часто розглядають нормовані власні вектори, тобто такі що:
.
Зауважимо, що коли матриця А в рівнянні (3.40) — симетрична (тобто 
), а Х — матриця, кожний стовпець якої є власним вектором цієї матриці, то добуток
(3.43)
Отже, якщо власні вектори матриці А розміщені у вигляді стовпців матриці Х, то добуток 
перетворює матрицю А на діагональну матрицю, яка має характеристичні корені l на головній діагоналі.
Приклад 3.7. Знайти характеристичні корені матриці А.
Запишемо рівняння 
або
(3.44)
Запишемо характеристичне рівняння для системи (3.44):
(3.45)
Отже,
. (3.46)
Нехай матриця А — симетрична, тоді 
і характеристичні корені цієї матриці
. (3.47)
Підставивши поступово 
в систему (3.44), знайдемо власні вектори X 1, X 2 матриці А.
Приклад 3.8. Знайти характеристичні корені і власні вектори X 1, X 2 матриці А:
.
Матриця А симетрична. Для визначення 
застосуємо (3.47):
Щоб знайти власні вектори 
i 
, розв’яжемо для кожного систему рівнянь (3.44).
Нехай, 
тоді
(3.48)
Нормалізуємо вектор 
, зводячи його довжину до 1, тобто:
(3.49)
Підставимо (3.48) в (3.49):
Звідси, 
Власний вектор
(3.50)
Для знаходження власного вектора 
покладемо 
.
Система (3.44) запишеться у вигляді
(3.51)
Нормалізуємо вектор , звівши його довжину до 1, тобто:
(3.52)
Підставивши (3.52) у (3.51), дістанемо:
Власний вектор
(3.53)
Зауважимо, що оскільки 
, то власні вектори X 1 і X 2 ортогональні, тобто лінійно незалежні:
Перевіримо, чи виконується (3.43):
Отже, співвідношення справді переводить матрицю А в діагональну матрицю 
. Це підтверджує правильність наведених обчислень.
3.9. Квадратичні форми
3.9.1. Означення квадратичної форми
Означення 3.22. Квадратичною формою 
від n невідомих 
називається сума, кожний доданок якої є квадратом одного з цих невідомих або добутком двох різних невідомих:
(3.54)
Коефіцієнти членів 
розміщені на головній діагоналі матриці А, а інші елементи матриці симетричні і дорівнюють відповідно половинам коефіцієнтів при 
:
Симетричну матрицю 
називають матрицею квадратичної форми. У векторно-матричній формі квадратична форма має вигляд 
, де 
, A — симетрична матриця.
Розглянемо, наприклад, два випадки.
1. Матриця А має розмір 2 × 2, а саме 
. Тоді квадратична форма
2. Матриця А діагональна, тобто
У такому разі
— вагова сума квадратів.
Означення 3.23. Квадратичну форму і відповідну їй матрицю А називають додатно визначеною тоді і тільки тоді, коли 
для всіх дійсних 
.
Означення 3.24. Квадратичну форму і відповідну їй матрицю називають додатно напіввизначеною, коли 
для всіх Х.
Запам’ятайте важливу властивість додатно визначених матриць.
Матриця А додатно визначена тоді і тільки тоді, коли її характеристичні корені (власні значення) додатні, а саме:
(3.55)
Рівняння (3.55) можемо пристосувати для знаходження іншого результату, який корисний при вивченні узагальненого методу найменших квадратів.
Оскільки всі додатні, можемо задати діагональну матрицю D такого виду:
(3.56)
Неважко побачити, що добуток (3.55) на матрицю D ліворуч і праворуч дає одиничну матрицю:
(3.57)
Нехай Z = XD, тоді
(3.58)
Оскільки матриці Х і D — невироджені, то Z — також невироджена. Виконавши відповідні перетворення, дістанемо:
(3.59)
Отже, коли матриця А додатно визначена, то можна знайти таку невироджену матрицю 
, що 
.
3.9.2. Випадкові квадратичні форми
Нехай d — випадковий вектор, А — детермінована симетрична матриця.
Добуток 
називають випадковою квадратичною формою, коли коваріаційна матриця d дорівнює 
і математичне сподівання M (d) = 0.
Застосувавши оператор математичного сподівання до випадкової квадратичної форми 
, дістанемо:
(3.60)
де tr (A) — слід матриці А.
Наведемо властивості випадкової квадратичної форми.
Означення 3.25. 1. Квадратична форма 
має розподіл 
із k ступенями свободи тоді і тільки тоді, коли А — ідемпотентна матриця (тобто 
) і rgA = trA = k.
2. Нехай В — детермінована матриця, така що BA = 0 і 
. Тоді 
і 
— незалежні.
3. Якщо 
— симетрична матриця, то слід матриці А є сумою її власних значень
4. Усі власні значення ідемпотентної матриці А дорівнюють нулю або одиниці, а саме:
якщо 
то 
; проте 
, тобто 
, оскільки 
, то 
. Звідси 
або 
.
5. Матриця 
є ідемпотентною, rgA = 1 і матриця Z має таку властивість, що ( 
) — квадратна симетрична невироджена матриця.
Приклад 3.9. Нехай 
; тоді 
;
,
отже, матриця 
— невироджена.
.
Визначимо нову матрицю А так:
.
Матриця А — симетрична та ідемпотентна, оскільки 
. Зауважимо, що ранг матриці А дорівнює 1.
Знайшовши характеристичні корені цієї матриці, тобто розв’язавши рівняння 
, дістанемо 
= 1 і 
= 0 кратності 2, що ілюструє виконання властивості 4.
3.10. Диференціювання функції багатьох змінних
(градієнт функціі f (x))
Розглянемо операцію диференціювання функції багатьох змінних f (x 1 ,x 2 ... xn), коли змінні задано у формі матриці-рядка, або, що те саме, вектора, тобто X = (x 1, x 2 ... xn 
. Тоді можна коротко записати f (x) = (x 1, x 2 ... xn .
Означення 3.25. Градієнтом функції f (x) (позначається: 
) називається вектор, який складається з частинних похідних функції f (x) за x 1, x 2... xn:
(3.61)
Нехай потрібно визначити градієнт функції 
, коли 
і 
.
Тоді
.
Отже, градієнт функції
. (3.62)
Узявши до уваги, що 
, градієнт можна визначити як
. (3.63)
Далі розглянемо функцію 
, де A = (aij) — симетрична матриця порядку n і — n -вимірна матриця-стовпець. Функцію такого типу визначають як квадратичну форму (див.підрозділ. 3.9).
Визначимо градієнт квадратичної форми. Для цього подамо 
як скалярний добуток:
(3.64)
.
Знайдемо компоненти вектора-градієнта.
Перший компонент
.
другий компонент:
n -й компонент:
Отже, градієнт від квадратичної форми має вигляд
(3.65)
Отже, скорочено
(3.66)
3.11. Короткі висновки
1. Матрицею називається таблиця чисел, яка складається з m рядків і n стовпців:
2. Кількість рядків і стовпців матриці визначає її розміпр m × n.
3. Якщо 
, то матриця — прямокутна; якщо m = n — матриця квадратна порядку n (або m).
4. Якщо матриця має один стовпець або рядок, то її називають відповідно: матрицею-стовпцем або матрицею-рядком. Загалом такі матриці називають векторами, а саме:
5. Якщо матриця А має всі нульові елементи, то вона є нульовою:
6. Квадратна матриця, усі елементи якої, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називається діагональною:
7. Якщо в діагональній матриці по головній діагоналі стоять одиниці, а саме
то така матриця називається одиничною n -го порядку.
8. Якщо в матриці поміняти місцями елементи рядків на відповідні елементи стовпців (або навпаки), то дістанемо транспоновану матрицю
9. Квадратна матриця А називається симетричною, якщо 
.
10. Додавання і віднімання виконується тільки для матриць одного й того самого порядку. Якщо 
і 
мають однаковий порядок, то матриця суми (різниці) 
.
11. Матриця будь-якого порядку А може бути помножена на скаляр l:
При множенні матриці А на скаляр виконуються такі закони:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
12. Дві матриці А і В можна помножити одна на одну, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці. Кожний елемент 
матриці-добутку С = АВ є сумою добутків відповідних елементів 
і -го рядка на відповідні елементи j -го стовпця:
13. При множенні матриць справджуються такі закони:
а) 
;
б) (АВ) С = А (ВС);
в) (А + В) С = АС + ВС;
г) С(А + В) = СА + СВ;
д) 
е) АE = EA = A;
є) 
14. Добуток матриці 
на 
дає скаляр
Якщо вектор 
, то
і
15. Квадратна матриця, що задовольняє умову , називається ідемпотентною.
16. Кожна матриця має скалярну характеристику — ранг матриці. Рангом називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів-стовпців (рядків) матриці А. Існує й інше означення: найвищий порядок мінора матриці А, який відрізняється від нуля:
m, n – кількість відповідно рядків і стовпців матриці А.
17. Якщо rgA = min(m,n), то матриця А має повний ранг. Для рангу виконуються такі співвідношення:
а) rgA = rg 
;
б) rg 
A = rgA;
в) rgAB 
min (rgA, rgB).
|
|
|
|
|
Дата добавления: 2014-11-29; Просмотров: 1123; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!