Комплексної змінної

Обчислення значень елементарних функцій

Основні елементарні функції комплексної змінної визначаються наступними формулами:

Показникова функція:

. (7.2.1)

Тригонометричні функції:

. (7.2.2)

Логарифмічна функція (для ):

, (). (7.2.3)

Головне значення логарифма ():

. (7.2.4)

Узагальнені показникова і степенева функції:

(). (7.2.5)

Приклад 7.2.1. Обчислити значення: 1) , 2) , 3) , 4) .

Розв’язання. 1) Згідно (7.2.1) маємо:

.

2) За формулою (7.2.2):

.

3) Згідно (7.2.3) маємо (при ):

4) За формулою (7.2.5): , де .

Приклад 7.2.2. За даними комплексними числами та знайти: а) модуль та аргумент числа та записати у тригонометричній та показниковій формах, б) , в) всі значення та зобразити їх на комплексній площині, г) , д) , , .

Розв’язання. а) Якщо , то , . Тоді модуль за (7.1.2): , головне значення аргумента (згідно схеми 7.1.1): , аргумент (). Значить, ‑ тригонометрична форма, ‑ показникова форма числа .

б) Користуючись тригонометричною формою числа та формулою Муавра (7.1.9) маємо:

.

Таким чином, ‑ тригонометрична форма, ‑ алгебраїчна форма числа .

в) Користуючись тригонометричною формою числа маємо: де . Випишемо чотири різних значення кореня (в тригонометричній формі), беручі по черзі :

.

Для геометричного представлення знайдених значень кореня можна зобразити одне значення, наприклад ‑ це точка кола радіусу , що лежить на промені . Після цього будуємо квадрат, вписаний у коло. Вершини цього квадрата будуть являти собою чотири значення .

г) Значення логарифмічної функції (в алгебраїчній формі): (), головне значення логарифма: .

д) , тобто , . Значить, значення показникової функції , (для дійсного числа спряжене співпадає з самим числом). Тоді значення тригонометричних функцій (в алгебраїчній формі): , , .

Зауважимо, що приклад 7.2.2 відповідає завданню 7.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 278 ‑ 280], [3, с. 299 – 302], [16].

Дата добавления: 2014-12-17; Просмотров: 523; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!