Приклад 5.1

Диференціальні рівняння n-го порядку, які інтегруються в квадратурах

Рівняння n -го порядку інтегруються в квадратурах дуже рідко. Розглянемо деякі класи таких рівнянь.

1⁰ Рівняння виду

, (5)

де - задана неперервна функція, інтегрується в квадратурах.

Справді, записавши це рівняння у вигляді

або

та інтегруючи, дістанемо

,

де - стала інтегрування.

Аналогічно знайдемо ,

звідки

де - сталі інтегрування.

Продовжуючи далі, після n інтегрувань знайдемо загальний розв’язок рівняння (5):

.

Знайти загальний розв’язок рівняння

● Послідовно дістанемо:

2⁰ Розглянемо рівняння виду

. (6)

Якщо задане рівняння можна розв’язати відносно , то маємо вже розглянутий випадок 1⁰. Припустимо, що рівняння (6) можна розв’язати відносно :

. (7)

Якщо покласти =t, рівняння (7) набере вигляду . Підставляючи значення і у тотожність , дістанемо

(8)

Інтегруючи рівняння (8), і враховуючи щоразу, що , дістанемо розв’язок рівняння (6) в параметричній формі.

Дата добавления: 2014-12-17; Просмотров: 495; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!