Примеры. 3.7. Дана последовательность Показать, что

3.7. Дана последовательность Показать, что .

Решение. Здесь .

Возьмем любое число . По определению 3.4, нам нужно найти число такое, чтобы для всех было выполнено неравенство . Решим это неравенство, находим

.

Тогда, в качестве можно взять число . Действительно, если

,

то

,

значит

.

Таким образом, получаем, что

.

3.8. Показать, что последовательность , сходится и .

Решение. Действительно, и всех выполняется неравенство .

3.9. Рассмотрим последовательность , то есть, . Показать, что она расходится.

Решение. Убедимся, что ни одно из чисел не может быть ее пределом.

Если , то из неравенства следует, что для любого нельзя найти число такое, что для всех выполнено . Это неравенство не выполняется, например, для , так как получим неверное неравенство . Следовательно, если , то .

Возьмем . Пусть и (это предположение возможно, так как — любое число).

Из рисунка 3.2 видно, что за пределами заштрихованной -окрестности числа имеется бесконечное число членов последовательности с нечетными номерами, то есть, не является пределом этой последовательности.

Рис. 3.2. График к примеру 3.9

Аналогичными рассуждениями получаем, что также не является пределом рассматриваемой последовательности.

Дата добавления: 2014-12-08; Просмотров: 443; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!